Làm thế nào để biến một hàm thành mật độ xác suất trong khi duy trì hình dạng của hàm?

Tôi có một loạt các hàm, mỗi hàm được cho là mật độ của một biến ngẫu nhiên giữa các tác nhân. Mỗi hàm cũng có một miền, mô tả giá trị nào của biến ngẫu nhiên là hợp lệ.

Bây giờ, nếu tôi nhớ chính xác các lớp thống kê của mình, nếu tôi lấy tích phân của một trong các hàm trên các giá trị được mô tả bởi miền của hàm, tôi sẽ nhận được giá trị là 1.0. Điều này không xảy ra tuy nhiên.

Có một kỹ thuật chuẩn hóa có thể biến một hàm thành mật độ xác suất thực, nhưng vẫn duy trì hình dạng của hàm?

Tất cả các hàm có dạng , trong đó là biến ngẫu nhiên và là các hằng số khác nhau.$\frac{a}{bx}+c$$x$$a,b,c$

Nếu bạn có hàm tích hợp không âm với miền sao cho$f$$D$

$$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$$

Sau đó, là mật độ xác suất trên . Giá trị được gọi là hằng số chuẩn hóa .$f(x)/k$$D$$k$

Chỉnh sửa: Trong ví dụ của bạn, bạn đã nói rằng cho các hằng số đã biết . Trong trường hợp đó, tích phân không xác định là đơn giản để tính toán và hằng số chuẩn hóa sẽ là$f(x) = \frac{a}{bx} + c$$a,b,c$

$$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

nếu là một khoảng thì điều này đơn giản hóa thành$D$$(A,B)$

$$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$$ Do đó là mật độ xác suất trên . $$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ $(A,B)$