Nếu X / Y có cùng phân phối với Z, có đúng là X có cùng phân phối với YZ không?

Đặt X, Y và Z là ba biến ngẫu nhiên độc lập. Nếu X / Y có cùng phân phối với Z, có đúng là X có cùng phân phối với YZ không?

probability ratio

— người dùng2808118
nguồn

Không. Hãy xem xét trường hợp và là tiêu chuẩn bình thường và là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn Cauchy (với cả ba đều độc lập theo tiền đề của câu hỏi). Người ta biết rằng có phân phối Cauchy tiêu chuẩn (giống như của ), nhưng không có phân phối chuẩn thông thường (vì không tồn tại). Vì vậy, bạn cần có các hạn chế bổ sung đối với (xem câu trả lời của Silverfish) để có hy vọng tìm thấy các ví dụ mà kết quả có thể giữ được.

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Dilip Sarwate

@Dilip Tôi đã xem xét việc sử dụng nó như ví dụ của mình nhưng tránh xa nó vì tôi không thể nghĩ ra một lời giải thích ngắn gọn về lý do tại sao không tồn tại. Nếu bạn có một lập luận gọn gàng, bạn nên đăng nó như một câu trả lời tôi nghĩ. (Như bạn có thể nói, tôi khá cố tình tránh các số 0 và vô số trong câu trả lời của mình, vì vậy tôi rất muốn tránh một cái gì đó thậm chí là vô hạn!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip Vì là Cauchy, vì vậy không tồn tại, đối với tôi, điều đó dường như không được đáp ứng và tuyên bố không nói gì về . Để so sánh: nếu là Cauchy và có phân phối suy biến , thì nó sẽ xuất hiện (và bằng 0) mặc dù không.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Cá bạc

Một trong những ví dụ đơn giản nhất và có lẽ trực quan nhất có thể là để và là bất kỳ phân phối nào có cơ hội không tham gia (kể từ là các điểm cố định của và và có vấn đề trong định nghĩa của trong mọi trường hợp). Sau đó, rõ ràng là không đổi trong khi là.

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

— whuber

@Silverfish chỉ được xác định nếu là hữu hạn. Nhưng, kể từvàlà các biến ngẫu nhiên độc lập. Nhưng, vì không hữu hạn và , nên chúng tôi kết luận rằng không hữu hạn (không có vấn đề gì về giá trị ). Do đó, không được xác định (hoặc không tồn tại) trong khi rất chắc chắn tồn tại và có giá trị .

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate

Nó có thể xảy ra. Chẳng hạn, nếu , và là các biến Rademacher độc lập , tức là chúng có thể là 1 hoặc -1 với xác suất bằng nhau. Trong trường hợp này cũng là Rademacher, vì vậy có sự phân bố giống như , trong khi là Rademacher nên có sự phân bố tương tự như . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Nhưng nó sẽ không xảy ra nói chung. Miễn là các phương tiện tồn tại, các điều kiện cần (nhưng không đủ) để có cùng phân phối với và để có cùng phân phối với , sẽ là: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Các đẳng thức thứ hai theo sau là độc lập. Thay thế cho:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Nếu thì , hoặc tương đương, miễn là , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

Điều này không đúng nói chung. Ví dụ: đặt là biến Bernouilli đã dịch , lấy các giá trị hoặc với xác suất bằng nhau, vì vậy . Sau đó, lấy các giá trị hoặc với xác suất bằng nhau, vì vậy . (Tôi để nó theo trí tưởng tượng của người đọc, hiệu ứng của nó sẽ phải sử dụng đến mức nào chưa được dịch $Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Thay vào đó, biến Bernouilli hoặc chỉ được dịch một chút để nó rất gần với 0 với xác suất một nửa. Lưu ý rằng trong ví dụ Rademacher không có vấn đề gì ở đây vì cả ba kỳ vọng đều bằng không, lưu ý thêm rằng điều kiện này không đủ.)

Chúng ta có thể khám phá cách này thất bại bằng cách xây dựng một ví dụ rõ ràng hơn. Để đơn giản, giả sử là một Bernouilli được chia tỷ lệ và lấy các giá trị hoặc với xác suất bằng nhau. Khi đó là , , hoặc với xác suất bằng nhau. Rõ ràng là , và . Đặt là một biến độc lập được rút ra từ cùng một phân phối. Sự phân phối của gì? Có giống như phân phối của $Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ ? Chúng tôi thậm chí không phải tìm ra phân phối xác suất đầy đủ để thấy rằng nó không thể; đủ để nhớ chỉ có thể bằng 0 hoặc 2 trong khi có thể nhận bất kỳ giá trị nào bạn có thể nhận được từ việc nhân một trong số với một trong . $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Nếu bạn muốn có một đạo đức cho câu chuyện này, thì hãy thử chơi xung quanh với các biến Bernouilli được thu nhỏ và dịch (bao gồm các biến Rademacher). Chúng có thể là một cách đơn giản để xây dựng các ví dụ - và phản mẫu. Nó giúp có ít giá trị hơn trong các hỗ trợ để có thể dễ dàng phân phối các chức năng khác nhau của các biến.

Thậm chí nhiều hơn nữa, chúng ta có thể xem xét các biến thoái biến chỉ có một giá trị duy nhất trong hỗ trợ của chúng. Nếu và là thoái hóa (với ) sau đó sẽ là quá, và vì vậy sự phân bố của sẽ phù hợp với giá trị của . Giống như ví dụ Rademacher của tôi, đó là một tình huống cho thấy các điều kiện của bạn có thể được thỏa mãn. Nếu thay vào đó, như @whuber gợi ý trong các nhận xét, chúng ta để suy biến với , nhưng cho phép thay đổi, thì việc xây dựng một ví dụ đơn giản hơn thậm chí rất dễ dàng. Nếu có thể lấy hai giá trị hữu hạn, khác không - và $X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ , giả sử - với xác suất dương, sau đó và do đó , có thể lấy các giá trị và . Bây giờ do đó có trong hỗ trợ của nó, vì vậy không thể làm theo sự phân bố tương tự như . Điều này tương tự, nhưng đơn giản hơn, lập luận của tôi rằng các hỗ trợ không thể phù hợp trong ví dụ ban đầu của tôi. $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— Cá bạc
nguồn

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Giả sử rằng . Sau đó, vì là hàm lồi trên , bất đẳng thức của Jensen cho chúng ta biết rằng điều kiện chỉ giữ nếu bị suy biến. Điều tương tự cũng đúng nếu , trong trường hợp 1 / x là lõm. Vì vậy, nếu là dấu hiệu cố định nhưng không suy biến, điều kiện cần thiết không thể giữ.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Dougal

@Dougal Cảm ơn bạn đã đề cập đến điều này. Khi viết lên, tôi nghĩ về việc bao gồm nó nhưng cảm thấy việc thảo luận về các dấu hiệu vv sẽ phá vỡ dòng chảy. Tôi đã nghĩ về việc chỉ nói "nhìn thấy sự bất bình đẳng của Jensen" và thêm một Wikipedia hoặc liên kết tương tự, nhưng sau đó quyết định đó không phải là một ý tưởng tốt bởi vì tôi đã không nói trước điều kiện lồi lõm mà tôi đang cố tránh. Thay vào đó, tôi đã xem xét liệu có một nơi nào đó (có thể là một luồng CV) hay không, nơi kỳ vọng về các chức năng phi tuyến tính của RV được thảo luận nói chung, điều này sẽ tự nhiên dẫn một người đọc tò mò đến Jensen, nhưng tôi không phát hiện ra điều gì Tôi thích chưa

— Cá bạc

@Dougal Đây là một trong những lần xung đột giữa các mẫu đơn giản đẹp mắt - thứ gì đó rất dễ tính toán, vì vậy một người làm việc dưới sự hiểu lầm có thể thấy ngay lập tức là không thể hoặc không chính xác - và một cách xử lý chung, triệt để hơn thực sự có ích hiển thị trong những điều kiện nào một cái gì đó thực sự có thể giữ (nhưng có thể quá khó để một số độc giả theo dõi, và do đó ít thuyết phục họ hơn). RV trên cho thấy ngay cả người mới bắt đầu tại sao không hoạt động tốt như nhưng Jensen nói nhiều hơn về lý do tại sao!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Cá bạc

Đúng, điểm tốt, mặc dù tôi tò mò về các điều kiện khi mối quan hệ (dường như tự nhiên) này có thể giữ được, điều này dường như khá hạn chế. Lưu ý rằng trong nhận xét của tôi ở trên, tôi viết sai điều kiện: tất nhiên nó phải là .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal

@Dougal Tôi nghĩ rằng ngoài RV thoái hóa, các mối quan hệ như vậy không "tự nhiên" như lần đầu tiên chúng xuất hiện. Hãy xem xét có cùng phân phối với và có cùng phân phối với và cả ba đều độc lập ... Một lần nữa, nó không giữ chung.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Cá bạc