pdf của một sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên thống nhất độc lập

12

Đặt ~ và ~ là hai biến ngẫu nhiên độc lập với các phân phối đã cho. Phân phối của gì? $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

Tôi đã thử tích chập, biết rằng

h (v) = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{y} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{v}{y}) d y

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

Chúng ta cũng biết rằng , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

h (v) = \frac{1}{20} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

h (v) = \frac{1}{40} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} d y

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

Một cái gì đó cho tôi biết, có một cái gì đó kỳ lạ ở đây vì nó không liên tục ở mức 0. Xin hãy giúp đỡ.

distributions random-variable

— cái tôi
nguồn

1

Nếu đây là một câu hỏi bài tập về nhà, bạn có thể vui lòng thêm thẻ tự học không? Cảm ơn bạn!

— Andy

đây có thể không phải là một RV thống nhất?

— Yair Daon

Nó không giống như đồng phục. có lẽ một cái gì đó với log? Nhưng tôi không biết làm thế nào để viết nó ra vì số 0 nằm giữa các giới hạn và hàm không được xác định bằng 0.

— CGO

14

Một câu trả lời tốt, nghiêm ngặt, thanh lịch đã được đăng. Mục đích của việc này là để lấy được kết quả tương tự trong một cách mà có thể là một chút tiết lộ nhiều về cấu trúc cơ bản của . Nó cho thấy tại sao hàm mật độ xác suất (pdf) phải là số ít ở . $XY$ $0$

Nhiều thứ có thể được thực hiện bằng cách tập trung vào các hình thức phân phối thành phần :

là hai lần mộtbiến ngẫu nhiên . là một dạng tiêu chuẩn, "đẹp" đặc trưng của tất cả các phân phối đồng đều. $X$ $U(0,1)$ $U(0,1)$
là mười lần mộtbiến ngẫu nhiên . $|Y|$ $U(0,1)$
Các dấu hiệu của tuân theo phân phối Rademacher: nó bằng hoặc , mỗi với xác suất . $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

(Bước cuối cùng này chuyển đổi một biến không âm thành phân phối đối xứng quanh , cả hai đuôi của chúng trông giống như phân phối ban đầu.) $0$

Do đó (a) đối xứng khoảng và (b) giá trị tuyệt đối của nó là lần tích của hai biến ngẫu nhiên độc lập . $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

Sản phẩm thường được đơn giản hóa bằng cách lấy logarit. Thật vậy, ai cũng biết rằng nhật ký âm của biến có phân phối mũ (vì đây là cách đơn giản nhất để tạo ra các biến thiên hàm mũ ngẫu nhiên), từ đó nhật ký âm của sản phẩm của hai trong số đó có phân phối tổng của hai số mũ. Các Exponential là một phân phối. Các bản phân phối gamma có cùng tham số tỷ lệ rất dễ thêm: bạn chỉ cần thêm tham số hình dạng của chúng. Một cộng với một $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ do đó cóphân phối . hậu quả là $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

Biến ngẫu nhiên là phiên bản symmetrized của lần so với hàm mũ của tiêu cực của một biến. $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

Nhân vật

Việc xây dựng PDF của từ đó của một phân phối được thể hiện từ trái sang phải, tiến hành trên đồng phục, đến mũ, với , với hàm mũ của tiêu cực của nó , với điều tương tự được nhân rộng bằng , và cuối cùng là phiên bản đối xứng của điều đó. PDF của nó là vô hạn ở , xác nhận sự gián đoạn ở đó. $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

Chúng tôi có thể hài lòng để dừng lại ở đây. Chẳng hạn, việc mô tả đặc điểm này cho chúng ta một cách để tạo ra các nhận thức trực tiếp về , như trong biểu thức này : $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Phân tích này cũng cho thấy lý do tại sao pdf tăng lên . $0$ Kỳ dị mà lần đầu tiên xuất hiện khi chúng ta coi là mũ của (các tiêu cực của) một phân phối, tương ứng với nhân một variate bằng nhau. Giá trị trong (nói) của nảy sinh bằng nhiều cách, bao gồm (nhưng không giới hạn) khi (a) một trong những yếu tố nhỏ hơn hoặc (b) tất cả những yếu tố nhỏ hơn $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ . Đó là căn bậc hai là vô cùng lớn hơnbản thân khigần. Điều này buộc rất nhiều xác suất, với số tiền lớn hơn $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ , được vắt vào một khoảng thời gian dài. Để điều này có thể xảy ra, mật độ của sản phẩm phải trở nên lớn tùy ý ở mức. Các thao tác tiếp theo - thay đổi kích thước theo hệ sốvà đối xứng - rõ ràng sẽ không loại bỏ được điểm kỳ dị đó. $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

$XY$ $\Gamma(2,1)$

f (t) d t = t e^{- t} d t, 0 < t < \infty .

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

$t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

f (t) d t = - (- \log (z) e^{- (- \log (z))} (- d z / z)) = - \log (z) d z, 0 < z < 1.

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

$20$

- \log (z / 20) d (z / 20) = - \frac{1}{20} \log (z / 20) d z, 0 < z < 20.

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

$z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} f_{X Y} (z) d z & = - \frac{1}{2} \frac{1}{20} \log (| z | / 20), - 20 < z < 20; \\ f_{X Y} (z) d z & = 0 otherwise . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— whuber
nguồn

Cảm ơn bạn đã cố gắng làm cho nó trở nên "dễ tiếp cận hơn. Tôi vẫn thấy điều này hơi phản cảm nên tôi mới thực hiện điều này (tương tự như" mô phỏng "của Xi'an): Tạo plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )độ dài lên đến 100 để tránh một số vật phẩm cho mật độ phân phối giới hạn.

— DWin

9

$X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$

f_{X} (x) = \frac{1}{2} I_{(0, 2)} (x)

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

h (v) = \frac{1}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1}{| y |} \cdot \frac{1}{2} I_{(0, 2)} (v / y) d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

\begin{aligned} h (v) & = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / y \leq 2} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / y \leq 2} d y \\ = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} I_{0 \geq v / 2 \geq y \geq - 10} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / 2 \leq y \leq 10} d y \\ = \frac{1}{40} I_{- 20 \leq v \leq 0} \int_{- 10}^{v / 2} \frac{1}{| y |} d y + \frac{1}{40} I_{20 \geq v \geq 0} \int_{v / 2}^{10} \frac{1}{| y |} d y \\ = \frac{1}{40} I_{- 20 \leq v \leq 0} \log {20 / | v |} + \frac{1}{40} I_{0 \leq v \leq 20} \log {20 / | v |} \\ = \frac{\log {20 / | v |}}{40} I_{- 20 \leq v \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

thu được như

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— Tây An
nguồn

Xin chào, cảm ơn. Tôi muốn hỏi tại sao giới hạn thay đổi từ -10 thành 10 thành -10 thành v / 2?

— cgo

Có nên có một tiêu cực ở đâu đó? Cảm ơn

— cgo

1

- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$