Biến đổi tuyến tính của một biến ngẫu nhiên bằng một ma trận hình chữ nhật cao

$\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

Bây giờ nói rằng chúng ta transform thay vì bởi một ma trận , với , cho . Rõ ràng , nhưng nó "sống" trên một không gian con chiều hai chiều . Mật độ có điều kiện của , cho rằng chúng ta biết nó nằm trong ? $\vec{X}$ $m \times n$ $B$ $m > n$ $\vec{Z} = B\vec{X}$ $Z \in \mathbb{R}^m$ $n$ $G \subset \mathbb{R}^m$ $\vec{Z}$ $G$

Bản năng đầu tiên của tôi là sử dụng giả nghịch đảo của $B$ . Nếu $B = U S V^T$ là sự phân hủy giá trị duy nhất của $B$ , sau đó $B^+ = V S^+ U^T$ là giả nghịch đảo, nơi mà $S^+$ được hình thành bằng cách đảo ngược khác không mục của các ma trận đường chéo $S$ . Tôi đoán rằng điều này sẽ cung cấp cho

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$ trong đó bởi

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$ Ý tôi là sản phẩm của các giá trị số ít khác không.

Lý do này đồng ý với mật độ cho một số ít bình thường (dựa trên kiến thức rằng biến số sống trên không gian con thích hợp) được đưa ra ở đây và cũng được đề cập ở đây và trong bài đăng CrossValidated này .

Nhưng nó không đúng! Hằng số chuẩn hóa là tắt. Một ví dụ mẫu (tầm thường) được đưa ra bằng cách xem xét trường hợp sau: Với $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ , hãy

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$ Ở đây ma trận

B

$B$ từ trên chỉ là vectơ. Giả nghịch đảo của nó là

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$ và

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$ . Lý do từ phía trên sẽ đề xuất

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$ nhưng thực tế điều này tích hợp (trên dòng

y = x

$y = x$ ) với

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tôi nhận thấy trong trường hợp này, bạn chỉ có thể bỏ một trong các mục của

\vec{Y}

$\vec{Y}$ bạn đã hoàn thành, nhưng khi

B

$B$ lớn hơn nhiều thì việc xác định tập hợp các mục cần bỏ là khó chịu. Tại sao công việc suy luận ngược giả? Có một công thức chung cho hàm mật độ của một phép biến đổi tuyến tính của một tập hợp các biến ngẫu nhiên theo ma trận "cao" không? Bất kỳ tài liệu tham khảo sẽ được đánh giá rất tốt là tốt.

— Dân
nguồn

Đối với những người có thể chạy ngang qua điều này trong tương lai ... nguồn gốc của lỗi thực sự bắt nguồn từ sự tích hợp. Trong ví dụ trên, tích hợp diễn ra trên dòng . Do đó, cần phải "tham số hóa" dòng và xem xét Jacobian của tham số hóa khi lấy tích phân, vì mỗi bước đơn vị trong -axis tương ứng với các bước có độ dài trên dòng. Tham số tôi đã sử dụng ngầm định được đưa ra bởi , nói cách khác là chỉ định cả hai mục nhập giống hệt nhau của theo giá trị. Cái này có Jacobian , hủy bỏ gọn gàng với $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (đến từ chính xác cùng Jacobian) trong mẫu số.

Ví dụ rất đơn giản - đối với phép biến đổi chung , người ta có thể có một tham số khác cho đầu ra là điều tự nhiên trong bối cảnh của vấn đề. Do tham số hóa cần bao trùm cùng một không gian con như và không gian con này là một siêu phẳng, nên tham số hóa có khả năng là tuyến tính. Gọi biểu diễn ma trận của tham số , yêu cầu đơn giản là nó có cùng không gian cột với (bao gồm cùng một siêu phẳng). Sau đó, mật độ cuối cùng trở thành $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

Nói chung, thiết lập này là một số lẻ và tôi nghĩ rằng điều cần làm là tìm một tập hợp các hàng độc lập tuyến tính tối đa và loại bỏ các hàng còn lại (cùng với các thành phần tương ứng của biến được chuyển đổi ) để có được một ma trận vuông . Sau đó, vấn đề giảm xuống trường hợp đầy đủ (giả sử có thứ hạng cột đầy đủ). $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— Dân
nguồn