Tính toán lượng tử tổng của các phân phối từ các lượng tử cụ thể

Giả sử biến ngẫu nhiên độc lập mà các lượng tử ở một mức cụ thể được biết đến thông qua ước tính từ dữ liệu: , ..., . Bây giờ hãy xác định biến ngẫu nhiên là tổng . Có cách nào để tính giá trị của lượng tử của tổng ở cấp , nghĩa là, trong ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Tôi nghĩ rằng trong trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như nếu $X_i$ tuân theo phân phối Gaussian $\forall i$ này rất dễ dàng, nhưng tôi không như vậy chắc chắn cho trường hợp sự phân bố của các $X_i$ là không rõ. Có ý kiến gì không?

quantiles

— albarji
nguồn

những

này được

q_{i}

$q_i$ ước tính từ dữ liệu hoặc theo lý thuyết đã biết?

— lừa dối

Điều này là không thể nếu không đưa ra các giả định cụ thể về các bản phân phối của . Bạn có một gia đình phân phối trong tâm trí?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuse được ước tính từ dữ liệu, vì phân phối của không được biết nhưng mẫu có sẵn. Tôi đã cập nhật câu hỏi với thực tế này.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— albarji

@whuber Tôi không có kiến thức trước về họ phân phối mà có thể theo dõi, mặc dù các mẫu dữ liệu có sẵn. Giả sử một gia đình phân phối (ngoài Gaussian) sẽ làm cho việc này dễ dàng hơn?

X_{i}

$X_i$

— albarji

$q_Z$ có thể là bất cứ điều gì.

Để hiểu tình huống này, chúng ta hãy đơn giản hóa sơ bộ. Bằng cách làm việc với chúng tôi có được một đặc tính thống nhất hơn $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Nghĩa là, mỗi có cùng xác suất âm. Bởi vì $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

phương trình xác định cho tương đương với $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

với . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Các giá trị có thể có của gì? Hãy xem xét trường hợp tất cả có cùng phân phối với tất cả xác suất trên hai giá trị, một trong số chúng âm ( ) và một giá trị dương khác ( ). Các giá trị có thể có của tổng được giới hạn ở với . Mỗi trong số đó xảy ra với xác suất $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Các thái cực có thể được tìm thấy bởi

Chọn và sao cho ; và sẽ thực hiện điều này. Điều này đảm bảo rằng sẽ âm trừ khi tất cả các đều dương. Cơ hội này bằng . Nó vượt quá khi , ngụ ý các quantile của phải nghiêm tiêu cực. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Chọn và sao cho ; và sẽ thực hiện điều này. Điều này đảm bảo rằng sẽ âm chỉ khi tất cả âm. Cơ hội này bằng . Đó là ít hơn khi , ngụ ý các quantile của phải được nghiêm túc tích cực. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Điều này cho thấy rằng quantile của có thể âm hoặc dương, nhưng không bằng không. Kích thước của nó có thể là gì? Nó phải bằng một số kết hợp tuyến tính tích phân của và . Làm cho cả hai giá trị này đảm bảo tất cả các giá trị có thể có của là tích phân. Khi chia tỷ lệ bằng một số dương tùy ý , chúng tôi có thể đảm bảo rằng tất cả các kết hợp tuyến tính tích phân của và là bội số nguyên của . Vì , nó phải có kích thước tối thiểu . Hậu quả là, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ các giá trị có thể có của (và mức độ của ) là không giới hạn, $q_W$ $q_Z$ bất kể có thể bằng nhau. $n\gt 1$

Cách duy nhất để rút ra bất kỳ thông tin nào về là đưa ra các ràng buộc cụ thể và mạnh mẽ đối với các bản phân phối của , để ngăn chặn và hạn chế loại phân phối không cân bằng được sử dụng để rút ra kết quả tiêu cực này. $q_Z$ $X_i$

— whuber
nguồn

Cảm ơn rất nhiều @whuber, vì đã giải thích và ví dụ minh họa. Mặc dù câu trả lời là tiêu cực, tôi không thể nói điều này là bất ngờ. Sau đó, tôi sẽ cố gắng tìm ra họ phân phối nào phù hợp với dữ liệu của mình và xem liệu tôi có thể tìm ra số lượng của tổng không.

— albarji