Liệu 10 cái đầu liên tiếp có làm tăng cơ hội quăng tiếp theo thành đuôi không?

Tôi giả sử như sau là đúng: giả sử một đồng xu công bằng, nhận được 10 đầu liên tiếp trong khi tung đồng xu không làm tăng cơ hội đồng xu tiếp theo tung thành đuôi , bất kể số lượng xác suất và / hoặc biệt ngữ thống kê được ném xung quanh (xin lỗi chơi chữ).

Giả sử đó là trường hợp, câu hỏi của tôi là: làm thế quái nào tôi thuyết phục được ai đó là trường hợp?

Họ thông minh và có học thức nhưng dường như quyết tâm không xem xét rằng tôi có thể đúng trong vấn đề này (tranh luận).

họ đang cố gắng khẳng định rằng [...] nếu đã có 10 cái đầu, thì cái tiếp theo trong chuỗi sẽ có nhiều khả năng là một cái đuôi bởi vì số liệu thống kê nói rằng cuối cùng nó sẽ cân bằng

Chỉ có một "sự cân bằng" trong một ý nghĩa rất đặc biệt.

Nếu đó là một đồng tiền công bằng, thì nó vẫn là 50-50 mỗi lần tung. Đồng xu không thể biết quá khứ của nó . Nó không thể biết có quá nhiều đầu. Nó không thể bù đắp cho quá khứ của nó. Bao giờ . nó chỉ tiếp tục ngẫu nhiên là đầu hoặc đuôi với cơ hội liên tục của đầu.

Nếu là số lượng đầu trong tung ( là số lượng đuôi), đối với một đồng tiền công bằng, sẽ có xu hướng 1, vì sẽ chuyển sang vô cùng .... nhưngkhông đi đến 0. Trên thực tế, nó cũng đi đến vô tận! n = n H + n T n $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$n H + n T | n H - n T $n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Đó là, không có gì hành động để làm cho họ thậm chí nhiều hơn. Số lượng không có xu hướng "cân bằng". Trung bình, sự mất cân bằng giữa số lượng đầu và đuôi thực sự phát triển!

Đây là kết quả của 100 bộ 1000 lần tung, với các dấu vết màu xám cho thấy sự khác biệt về số lượng đầu trừ đi số đuôi ở mỗi bước.

Các dấu vết màu xám (đại diện cho ) là một bước đi ngẫu nhiên của Bernoulli. Nếu bạn nghĩ rằng một hạt di chuyển lên hoặc xuống trục y theo một bước đơn vị (ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau) ở mỗi bước thời gian, thì sự phân bố vị trí của hạt sẽ 'khuếch tán' từ 0 theo thời gian. Nó vẫn có 0 giá trị mong đợi, nhưng khoảng cách dự kiến ​​của nó từ 0 tăng lên khi căn bậc hai của số bước thời gian. [Lưu ý cho bất kỳ ai đang nghĩ " anh ấy đang nói về sự khác biệt tuyệt đối dự kiến ​​hoặc sự khác biệt RMS " - thực ra cũng vậy: đối với lớn đầu tiên là 80% giây.] n $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

Đường cong màu xanh ở trên là tại và đường cong màu xanh lá cây là tại . Như bạn thấy, khoảng cách điển hình giữa tổng số đầu và tổng đuôi tăng lên. Nếu có bất cứ điều gì hành động để 'khôi phục lại sự bình đẳng' - để 'bù đắp' những sai lệch so với sự bình đẳng - thì họ sẽ không có xu hướng phát triển xa hơn như thế. (Không khó để hiển thị đại số này, nhưng tôi nghi ngờ điều đó sẽ thuyết phục bạn của bạn. Phần quan trọng là phương sai của một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là tổng của phương sai xem phần cuối của phần được liên kết - mỗi khi bạn thêm một lần lật đồng xu khác, bạn thêm một lượng không đổi vào phương sai của tổng ... vì vậy phương sai phải tăng tỷ lệ thuận với ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. Do đó, độ lệch chuẩn tăng với . Hằng số được thêm vào phương sai ở mỗi bước trong trường hợp này là 1, nhưng điều đó không quan trọng đối với đối số.)$\sqrt{n}$

Tương đương, không chuyển sang khi tổng số lần ném đi đến vô cùng, nhưng chỉ vì đi đến vô cùng nhanh hơn rất nhiều so vớilàm. 0nH+nT| nH-nT$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Điều đó có nghĩa nếu chúng ta chia mà đếm tích lũy bởi$n$ ở mỗi bước, nó cong trong - sự khác biệt tuyệt đối tiêu biểu trong số là thứ tự của , nhưng sự khác biệt tuyệt đối tiêu biểu trong tỷ lệ thì phải có thứ tự của . 1/$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

Đó là tất cả những gì đang diễn ra. Các độ lệch ngẫu nhiên ngày càng lớn * so với đẳng thức chỉ bị " rửa sạch " bởi mẫu số thậm chí còn lớn hơn .

* tăng kích thước tuyệt đối điển hình

Xem hoạt hình nhỏ ở lề, tại đây

Nếu bạn của bạn không thuyết phục, hãy ném một số đồng xu. Mỗi khi bạn nói ba cái đầu liên tiếp, hãy nhờ anh ấy hoặc cô ấy đề cử một xác suất cho một lần ném tiếp theo (tức là dưới 50%) mà anh ấy nghĩ phải công bằng bằng lý lẽ của mình. Yêu cầu họ cung cấp cho bạn tỷ lệ cược tương ứng (nghĩa là anh ta hoặc cô ta phải sẵn sàng trả nhiều hơn 1: 1 nếu bạn đặt cược vào đầu, vì họ khẳng định rằng đuôi có nhiều khả năng). Sẽ tốt nhất nếu nó được thiết lập với số lượng cược nhiều cho một số tiền nhỏ. (Đừng ngạc nhiên nếu có một số lý do tại sao họ không thể chiếm một nửa số tiền đặt cược của mình - nhưng ít nhất nó dường như làm giảm đáng kể sự kịch liệt mà vị trí này được giữ.)

[Tuy nhiên, tất cả các cuộc thảo luận này được khẳng định trên đồng tiền là công bằng. Nếu đồng xu không công bằng (50-50), thì một phiên bản thảo luận khác - dựa trên độ lệch so với tỷ lệ chênh lệch dự kiến ​​sẽ được yêu cầu. Có 10 đầu trong 10 lần tung có thể khiến bạn nghi ngờ về giả định p = 0,5. Một đồng xu được tung tốt nên gần với công bằng - có trọng số hay không - nhưng thực tế vẫn thể hiện sự thiên vị nhỏ nhưng có thể khai thác , đặc biệt nếu người khai thác nó là một người như Persi Diaconis. Mặt khác, quay tiền xu , có thể khá dễ bị sai lệch do trọng lượng nhiều hơn trên một mặt.]

Sự nhầm lẫn là bởi vì anh ta đang xem xét xác suất ngay từ đầu mà không nhìn vào những gì khác đã xảy ra.

Hãy đơn giản hóa mọi thứ:

Lần lật đầu tiên:

T

Bây giờ cơ hội của một T là 50%, vì vậy 0,5.

Cơ hội mà lần lật tiếp theo sẽ là T lần nữa là 0,5

TT 0.5
TF 0.5

Tuy nhiên, những gì về lần lật đầu tiên? Nếu chúng ta bao gồm điều đó thì:

TT 0.25
TF 0.25

50% còn lại bắt đầu bằng F và một lần nữa có sự phân chia đồng đều giữa T và F.

Để mở rộng ra mười đuôi liên tiếp - xác suất mà bạn đã có đó là 1/1024.

Xác suất mà người tiếp theo là T hoặc F là 50%.

Vì vậy, cơ hội từ khi bắt đầu 11 đuôi là 1 vào năm 2048. Xác suất đã lật đuôi 10 lần mà lần lật tiếp theo cũng sẽ là một cái đuôi mặc dù vẫn là 50%.

Họ đang cố gắng áp dụng mức độ không tương xứng của tỷ lệ 1 trên 1024 của T cho cơ hội của một T khác, trong khi thực tế điều đó đã xảy ra nên xác suất xảy ra không còn quan trọng nữa.

11 đuôi liên tiếp không nhiều hơn hoặc ít hơn 10 đuôi theo sau bởi một đầu.

Xác suất mà 11 lần lật là tất cả các đuôi là không thể xảy ra nhưng vì nó đã xảy ra rồi nên nó không còn quan trọng nữa!

Tỷ lệ cược vẫn là 50-50 mà lần lật tiếp theo sẽ là đuôi.

Giải thích rất đơn giản: Tỷ lệ lật 10 đầu + 1 đuôi theo thứ tự đó là rất thấp. Nhưng vào thời điểm bạn lật 10 cái đầu, bạn đã đánh bại hầu hết các tỷ lệ cược ... bạn có cơ hội hoàn thành chuỗi 50-50 với lần lật xu tiếp theo.

Bạn nên cố gắng thuyết phục họ rằng nếu các kết quả trước đó đã tác động đến các lần tung sắp tới thì không chỉ 10 lần tung cuối cùng đã được xem xét, mà còn cả các lần ném trước đó trong vòng đời của đồng xu.

Tôi nghĩ rằng đó là một cách tiếp cận hợp lý hơn.

Đây thực sự không phải là một câu trả lời - vấn đề của bạn là tâm lý, không phải toán học. Nhưng nó có thể giúp.

sometimes$2^{10} \approx 10^3$

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ do đó, trong giới hạn, 10 đuôi đầu tiên hoàn toàn không thành vấn đề, tác dụng của nó bị "cuốn trôi" bởi tất cả các lần ném sau. Vì vậy, không cần phải "cân bằng" cho kết quả giới hạn để giữ. Về mặt toán học, đây chỉ là sử dụng thực tế là giới hạn (nếu tồn tại ...) của bất kỳ chuỗi số nào hoàn toàn không phụ thuộc vào bất kỳ phân đoạn ban đầu, hữu hạn nào ! Vì vậy, chúng ta có thể tùy ý gán kết quả cho mười lần ném đầu tiên (hoặc hàng trăm đầu tiên) mà không ảnh hưởng đến giới hạn. Tôi đoán cách giải thích này cho bạn bè đánh bạc của bạn (có thể với nhiều số & ví dụ và ít đại số hơn ...) có thể là cách tốt nhất.

Khía cạnh khác là : Sau mười lần ném mười đuôi, có thể ai đó bắt đầu nghi ngờ liệu đồng xu có tốt không, tương ứng với mô hình đơn giản, thông thường của các lần tung xác suất độc lập, bằng nhau. Giả sử "người ném" (người thực hiện cú ném) chưa được huấn luyện để kiểm soát cú ném theo một cách nào đó, và thực sự ném một cách trung thực, xác suất đuôi phải là một nửa ( xem bài báo Gelman này .)

Vì vậy, trong giả thuyết thay thế, phải có một số sự phụ thuộc giữa các lần tung đồng xu! Và, sau khi nhìn thấy mười đuôi liên tiếp, bằng chứng là sự phụ thuộc là tích cực, do đó, một đuôi làm tăng khả năng tung đồng xu tiếp theo sẽ là đuôi. Nhưng sau đó, sau phân tích đó, kết luận hợp lý là xác suất ném thứ mười một là đuôi, được tăng lên , không bị hạ thấp! Vì vậy, kết luận, trong trường hợp đó, ngược lại với bạn bè đánh bạc của bạn.

Tôi nghĩ rằng bạn sẽ cần một mô hình thực sự rất kỳ lạ để biện minh cho kết luận của họ.

Giả sử lật đồng xu là độc lập, điều này rất dễ dàng để chứng minh từ thống kê này sang thống kê khác. Tuy nhiên, bạn của bạn dường như không tin rằng việc tung đồng xu là độc lập. Khác với việc ném xung quanh các từ đồng nghĩa với độc lập (ví dụ: đồng xu không có "bộ nhớ"), bạn không thể chứng minh với anh ta rằng việc lật đồng xu là độc lập với một đối số từ đơn thuần. Tôi sẽ đề nghị sử dụng mô phỏng để khẳng định yêu cầu của bạn, nhưng thành thật mà nói, nếu bạn của bạn không tin việc tung đồng xu là độc lập thì tôi không chắc anh ấy sẽ tin vào kết quả mô phỏng.

Để trình bày lại một số lời giải thích đã được đưa ra (bởi @TimB và @James K), một khi bạn đã lật một đồng xu 10 lần và nhận được 10 đầu, xác suất nhận được 10 đầu liên tiếp là chính xác 1.0! Điều đó đã xảy ra, vì vậy xác suất xảy ra hiện đã được khắc phục.

Khi bạn nhân số đó với xác suất nhận được số lần lật tiếp theo (0,5), bạn sẽ nhận được chính xác 0,5.

Đặt cược vào đuôi với bất kỳ thứ gì khác ngoài tỷ lệ cược vào thời điểm đó là đặt cược của người chơi.

Hãy nói rằng tôi tin rằng đồng tiền là công bằng. Nếu đồng xu công bằng thì xác suất có 10 đầu liên tiếp là Vì vậy, với tư cách là người thường xuyên có ý nghĩa , tôi phải từ chối : coin là công bằng và kết luận rằng : "cái gì đó tanh" là đúng. Không, tôi không thể nhấn mạnh rằng xác suất nhìn thấy một cái đầu khác vẫn làα=1%H0Ha

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

Tôi sẽ để nó cho bạn áp dụng phương pháp Bayes và đi đến một kết luận tương tự. Bạn sẽ bắt đầu với xác suất trước của các đầu , sau đó cập nhật nó với quan sát 10 đầu liên tiếp và bạn sẽ thấy xác suất sau của các đầu π>$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

CẬP NHẬT ví dụ @oerkelens có thể được hiểu theo hai cách.

• bạn của bạn đặt cược vào THHTTHTTHT, sau đó ném một đồng xu 10 lần và nhận được: THHTTHTTHT. Trong trường hợp này, bạn sẽ ngạc nhiên như với 10 đầu liên tiếp và bắt đầu nghi ngờ về tính công bằng của một đồng tiền. Bạn không chắc sẽ nghĩ gì về xác suất đuôi trong lần ném tiếp theo, bởi vì bạn của bạn dường như có thể có được chính xác những gì anh ta muốn, điều này không phải là ngẫu nhiên.
• bạn đã ném một đồng xu 10 lần và quan sát một số kết hợp tình cờ là THHTTHTTHT, bạn sẽ nhận thấy có 6 đuôi và 4 đầu, đó là , không đáng kể Do đó, xác suất của một cái đuôi trong lần ném tiếp theo có lẽ là , vì không có lý do gì để nghi ngờ tính công bằng của nó.$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

Ngoài ra, người ta có thể lập luận rằng mặc dù 0,001 là một xác suất nhỏ, nhưng nếu bạn ném 10 xu 100.000 lần, bạn nhất định sẽ thấy một vài kết hợp 10 đầu. Đúng, nhưng trong trường hợp này bạn có tổng cộng 1 triệu lần tung đồng xu và bạn đang tìm kiếm ít nhất một kết hợp 10 đầu trong chuỗi. Xác suất thường xuyên quan sát ít nhất một kết hợp 10 đầu được tính như sau: Vì vậy, người thường xuyên sẽ kết luận sau nhiều tháng tung đồng xu 1 triệu lần và quan sát sự kết hợp 10 đầu, rằng đó không phải là vấn đề lớn, mọi thứ xảy ra. Anh ta sẽ không thực hiện bất kỳ điều chỉnh nào đối với kỳ vọng của mình về xác suất của người đứng đầu tiếp theo và để nó ở mức 0,5

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

ĐỐI VỚI NGƯỜI MÁY TÍNH Nếu bạn bè của bạn là lập trình viên máy tính thì tôi thấy rằng cách dễ nhất để thu hút trực giác của họ là thông qua lập trình. Yêu cầu họ lập trình thí nghiệm tung đồng xu. Họ sẽ suy nghĩ một chút rồi nghĩ ra thứ gì đó như thế này:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Bạn sẽ hỏi họ

mã của bạn để xử lý 10 đầu liên tiếp ở đây ở đâu? Dường như trong mã của bạn bất kể điều gì đã xảy ra trong 10 vòng đầu tiên, lần ném thứ 11 có 0,5 xác suất đứng đầu.

Tuy nhiên, trường hợp này hấp dẫn việc tung đồng xu công bằng. Mã được thiết kế với một tung đồng xu công bằng. Tuy nhiên, trong trường hợp có 10 đầu, rất khó có khả năng đồng tiền đó là công bằng.

Trong hoàn cảnh lý tưởng, câu trả lời là không. Mỗi lần ném là độc lập với những gì đến trước. Vì vậy, nếu đây là một đồng tiền thực sự công bằng thì nó không thành vấn đề. Nhưng nếu bạn không chắc chắn về việc đồng xu có bị lỗi hay không (điều này có thể xảy ra trong cuộc sống thực), một chuỗi đuôi dài có thể khiến người ta tin rằng nó không công bằng.

Câu trả lời này sẽ hoạt động cho tất cả các câu hỏi thuộc loại này, bao gồm cả vấn đề Monty Hall. Đơn giản chỉ cần hỏi họ những gì họ nghĩ rằng tỷ lệ cược là có được một cái đuôi sau mười đầu. Đề nghị chơi chúng cho tốt hơn một chút (với họ) nhưng vẫn có tỷ lệ cược dưới 50-50. Với bất kỳ may mắn nào, họ sẽ đồng ý cho phép một máy tính thực hiện việc lật trong trường hợp bạn sẽ nhanh chóng có một khoản tiền trong túi. Nếu không, nó sẽ mất nhiều thời gian hơn nhưng kết quả là (chắc chắn) là như nhau.

Làm thế nào bạn sẽ thuyết phục họ? Một cách là hiển thị phân phối kết quả từ vấn đề chính xác được mô tả.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

Hãy thử như thế này: Giả sử rằng chúng ta đã có cú ném đầu - một sự kiện rất hiếm gặp với xác suất "ở đó" là . Bây giờ chúng tôi chuẩn bị cho một lần ném nữa và suy nghĩ về những gì có thể xảy ra tiếp theo:0,5 $10$$0.5^{10}$

• nếu đuôi, chúng ta vẫn kết thúc bằng việc ghi lại một chuỗi các sự kiện cực kỳ hiếm gặp với xác suất ;$0.5^{10}$
• nếu đứng đầu, xác suất của toàn bộ chuỗi có phần nhỏ hơn, nhưng không nhỏ hơn nhiều, ;$0.5^{11}$

Và sự khác biệt giữa hai chỉ là một lần tung đồng xu công bằng.