Có phải trung vị là một loại trung bình, đối với một số khái quát của nghĩa là trung bình?

Khái niệm "trung bình" chuyển vùng rộng hơn nhiều so với trung bình số học truyền thống; nó kéo dài đến mức bao gồm trung vị? Bằng cách tương tự,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

Sự tương tự tôi đang vẽ là trung bình số học , được đưa ra bởi:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

Để so sánh, khi chúng ta nói rằng trung vị của bộ dữ liệu năm mục bằng với mục thứ ba, chúng ta có thể thấy rằng tương đương với việc xếp hạng dữ liệu từ một đến năm (mà chúng ta có thể biểu thị bằng hàm ); lấy giá trị trung bình của dữ liệu biến đổi (là ba); và đọc lại giá trị của mục dữ liệu đã xếp hạng ba (một loại f ^ {- 1} ).$f$$f^{-1}$

Trong các ví dụ về trung bình hình học, trung bình hài và RMS, $f$ là một hàm cố định có thể được áp dụng cho bất kỳ số nào trong sự cô lập. Ngược lại, để gán một thứ hạng hoặc để làm việc trở lại từ các cấp bậc cho dữ liệu gốc (nội suy khi cần thiết) đòi hỏi kiến ​​thức về toàn bộ tập dữ liệu. Hơn nữa, trong các định nghĩa tôi đã đọc về trung bình số học, $f$ được yêu cầu phải liên tục. Là trung vị từng được coi là một trường hợp đặc biệt của trung bình số học, và nếu vậy thì $f$ được định nghĩa như thế nào? Hay là trung vị từng được mô tả như là một ví dụ của một số khái niệm rộng hơn khác về "trung bình"? Giá trị trung bình số học chắc chắn không phải là khái quát duy nhất có sẵn.

Một phần của vấn đề là thuật ngữ (dù sao "nghĩa là" nghĩa là gì, đặc biệt là trái ngược với "xu hướng trung tâm" hoặc "trung bình"?). Ví dụ, trong tài liệu cho các hệ thống điều khiển mờ , hàm tổng hợp $F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$ là một hàm tăng với $F(a,a)=a$ và $F(b,b)=b$ ; một hàm tổng hợp mà $\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$ cho tất cả $x,y \in [a,b]$ được gọi là "mean" (trong a ý nghĩa chung). Một định nghĩa như vậy là, không cần phải nói, vô cùng rộng! Và trong bối cảnh này, trung vị thực sự được gọi là một loại trung bình. $^{[1]}$Nhưng tôi tò mò liệu các đặc tính ít rộng hơn của trung bình vẫn có thể mở rộng đủ xa để bao gồm trung bình - cái gọi là trung bình tổng quát (có thể được mô tả tốt hơn là "ý nghĩa sức mạnh") và nghĩa của Lehmer không, nhưng những người khác có thể không . Đối với những gì nó có giá trị, Wikipedia bao gồm "trung vị" trong danh sách "các phương tiện khác" , nhưng không có bình luận hoặc trích dẫn thêm.

$[1]$ : Một định nghĩa rộng về trung bình, được mở rộng phù hợp cho hơn hai đầu vào, dường như là tiêu chuẩn trong lĩnh vực kiểm soát mờ và bị cắt xén nhiều lần trong các tìm kiếm trên internet cho các trường hợp trung vị được mô tả là trung vị; Tôi sẽ trích dẫn, ví dụ Fodor, JC, & Rudas, IJ (2009), " Trên một số loại hàm tổng hợp có tính di trú ", IFSA / EUSFLAT Conf. (trang 653-656). Ngẫu nhiên, bài báo này lưu ý rằng một trong những người sử dụng sớm nhất thuật ngữ "trung bình" ( moyenne ) là Cauchy , trong Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1ère partie; Phân tích algébrique (1821). Những đóng góp sau này của Aczél , Chisini ,và de Finetti trong việc phát triển các khái niệm chung hơn về "ý nghĩa" so với Cauchy được thừa nhận trong Fodor, J. và Roubens, M. (1995), " Về ý nghĩa của phương tiện ", Tạp chí Toán học tính toán và ứng dụng , 64 (1), 103-115.

Đây là một cách mà bạn có thể coi trung bình là "loại trung bình chung" - trước tiên, hãy xác định cẩn thận trung bình số học thông thường của bạn theo thống kê đơn hàng:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

Sau đó, bằng cách thay thế số liệu thống kê đơn hàng trung bình thông thường đó bằng một số hàm trọng số khác, chúng ta có được một khái niệm "trung bình tổng quát" chiếm tỷ lệ của đơn hàng.

Trong trường hợp đó, một loạt các biện pháp tiềm năng của trung tâm trở thành "các loại phương tiện tổng quát". Trong trường hợp trung vị, với lẻ , và tất cả các số khác là 0 và đối với , .w ( n + 1 ) / 2 = 1 n w $n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

Tương tự, nếu chúng ta xem xét ước lượng M , ước tính vị trí cũng có thể được coi là tổng quát hóa trung bình số học (trong đó đối với giá trị trung bình, là bậc hai, là tuyến tính hoặc hàm trọng số là phẳng) và trung vị cũng rơi vào lớp khái quát này. Đây là một khái quát hơi khác so với trước đây.$\rho$$\psi$

Có nhiều cách khác nhau mà chúng ta có thể mở rộng khái niệm 'nghĩa là' có thể bao gồm trung bình.

Nếu bạn nghĩ về giá trị trung bình là điểm tối thiểu hóa hàm mất bậc hai SSE, thì trung vị là điểm tối thiểu hóa hàm mất tuyến tính MAD, và chế độ là điểm giảm thiểu một số hàm mất 0-1. Không cần chuyển đổi.

Vì vậy, trung vị là một ví dụ về nghĩa của Fréchet .

Một khái quát dễ dàng nhưng hiệu quả là phương tiện có trọng số , trong đó . Rõ ràng trung bình chung hoặc trung bình của vườn là trường hợp đặc biệt đơn giản nhất với trọng số bằng nhau .∑ n i = 1 w i = 1 w i = 1 /$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

Để các trọng số phụ thuộc vào thứ tự các giá trị theo độ lớn, từ nhỏ nhất đến lớn nhất, chỉ ra các trường hợp đặc biệt khác, đáng chú ý là ý nghĩa của một giá trị trung bình được cắt bớt , được biết đến bởi các tên khác.

Để tránh sử dụng quá nhiều ký hiệu khi không cần thiết hoặc đặc biệt hữu ích, hãy tưởng tượng ví dụ bỏ qua các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất và lấy trung bình (có trọng số tương đương) của các giá trị khác. Hoặc tưởng tượng bỏ qua hai nhỏ nhất và hai lớn nhất và lấy ý nghĩa của những người khác; và kể từ đó trở đi. Việc cắt xén mạnh mẽ nhất sẽ bỏ qua tất cả trừ một hoặc hai giá trị trung bình theo thứ tự, tùy thuộc vào số lượng giá trị là số lẻ hay số chẵn, mà tự nhiên chỉ là giá trị trung bình quen thuộc . Không có gì trong ý tưởng cắt tỉa cam kết bạn bỏ qua các số bằng nhau trong mỗi đuôi của một mẫu, nhưng nói thêm về cắt tỉa không đối xứng sẽ đưa chúng ta ra xa khỏi ý tưởng chính trong chủ đề này.

Nói tóm lại, phương tiện (không đủ tiêu chuẩn) và trung vị là những trường hợp cực kỳ hạn chế của gia đình phương tiện (đối xứng). Ý tưởng tổng thể là cho phép thỏa hiệp giữa một lý tưởng sử dụng tất cả thông tin trong dữ liệu và lý tưởng khác là bảo vệ bản thân khỏi các điểm dữ liệu cực đoan, có thể là những ngoại lệ không đáng tin cậy.

Xem tài liệu tham khảo ở đây cho một đánh giá khá gần đây.

Câu hỏi mời chúng ta mô tả khái niệm "trung bình" theo nghĩa đủ rộng để bao gồm tất cả các phương tiện thông thường - phương tiện sức mạnh, phương tiện , phương tiện trung bình, phương tiện cắt xén - nhưng không quá rộng đến mức nó trở nên gần như vô dụng đối với dữ liệu phân tích. Câu trả lời này thảo luận về một số tính chất tiên đề mà bất kỳ định nghĩa hợp lý hữu ích nào về "trung bình" nên có.$L^p$

---

Tiên đề cơ bản

Một định nghĩa rộng có ích về "trung bình" cho mục đích phân tích dữ liệu sẽ là bất kỳ chuỗi các hàm xác định, xác định rõ cho và như vậy đóA ⊂ R n = 1 , 2 , $f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) với tất cả (có nghĩa là nằm giữa các thái cực),x = $\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) là bất biến theo hoán vị của các đối số của nó (có nghĩa là không quan tâm đến thứ tự của dữ liệu) và$f_n$

(3) mỗi không tăng trong mỗi đối số của nó (khi số tăng, giá trị trung bình của chúng không thể giảm).$f_n$

Chúng ta phải cho phép là tập con đúng của các số thực (chẳng hạn như tất cả các số dương) bởi vì rất nhiều phương tiện, như phương tiện hình học, chỉ được xác định trên các tập hợp con đó.$A$

Chúng tôi cũng có thể muốn thêm rằng

(1 ') tồn tại ít nhất một số mà (có nghĩa không phải là cực trị). (Chúng tôi không thể yêu cầu điều này luôn giữ. Ví dụ: trung vị của bằng , là mức tối thiểu.)phút ( x ) ≠ f n ( x ) ≠ max ( x ) ( 0 , 0 , $\x\in A$$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

Các thuộc tính này dường như nắm bắt ý tưởng đằng sau một "trung bình" là một loại "giá trị trung bình" của một tập hợp dữ liệu (không có thứ tự).

Tiên đề nhất quán

Tôi muốn tiếp tục quy định tiêu chí thống nhất khá ít rõ ràng

(4.a) Phạm vi của khi thay đổi trong khoảng bao gồm . Nói cách khác, luôn luôn có thể giữ nguyên giá trị trung bình bằng cách nối một giá trị thích hợp vào tập dữ liệu. Kết hợp với (3), nó ngụ ý rằng các giá trị cực trị liền kề với tập dữ liệu sẽ kéo giá trị trung bình về các cực trị đó.t [ min ( x ) , max ( x ) ] f n ( x ) $f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$

Nếu chúng ta muốn áp dụng khái niệm trung bình cho phân phối hoặc "dân số vô hạn", thì một cách sẽ là lấy nó trong giới hạn của các mẫu ngẫu nhiên lớn tùy ý. Tất nhiên giới hạn có thể không luôn luôn tồn tại (nó không tồn tại đối với trung bình số học khi phân phối không có kỳ vọng, chẳng hạn). Do đó, tôi không muốn áp đặt bất kỳ tiên đề bổ sung nào để đảm bảo sự tồn tại của các giới hạn đó, nhưng những điều sau đây có vẻ tự nhiên và hữu ích:

(4.b) Bất cứ khi nào bị giới hạn và là một chuỗi các mẫu từ phân phối được hỗ trợ trên , thì giới hạn của gần như chắc chắn tồn tại. Điều này ngăn giá trị trung bình mãi mãi "nảy xung quanh" trong ngay cả khi kích thước mẫu ngày càng lớn hơn.x n F A f n ( x n ) $A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

Dọc theo cùng một dòng, chúng tôi có thể thu hẹp hơn nữa ý tưởng về một phương tiện để khẳng định rằng nó trở thành một công cụ ước tính tốt hơn về "vị trí" khi kích thước mẫu tăng:

(4.c) Bất cứ khi nào bị giới hạn, thì phương sai của phân phối lấy mẫu của cho một mẫu ngẫu nhiên của là không tăng trong .f n ( X ( n ) ) X ( n ) = ( X 1 , X 2 , $A$$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

Tiên đề liên tục

Chúng tôi có thể xem xét yêu cầu có nghĩa là thay đổi "độc đáo" với dữ liệu:

(5) được liên tục riêng biệt trong mỗi đối số (một thay đổi nhỏ trong các giá trị dữ liệu sẽ không gây ra bước nhảy đột ngột trong ý nghĩa của chúng).$f_n$

Yêu cầu này có thể loại bỏ một số khái quát hóa kỳ lạ, nhưng nó không loại trừ bất kỳ ý nghĩa nổi tiếng nào. Nó sẽ loại trừ một số hàm tổng hợp.

Một tiên đề bất biến

Chúng ta có thể hình dung các phương tiện như áp dụng cho dữ liệu khoảng hoặc tỷ lệ (theo nghĩa nổi tiếng của Stevens). Chúng tôi không thể yêu cầu họ bất biến dưới sự dịch chuyển của vị trí (ý nghĩa hình học là không), nhưng chúng tôi có thể yêu cầu

(6) cho tất cả và tất cả mà . Điều này chỉ nói rằng chúng tôi có thể tự do tính toán bằng bất kỳ đơn vị đo lường nào chúng tôi muốn.$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

Tất cả các phương tiện được đề cập trong câu hỏi thỏa mãn tiên đề này ngoại trừ một số hàm tổng hợp.

---

Thảo luận

Các hàm tổng hợp chung , như được mô tả trong câu hỏi, không nhất thiết phải thỏa mãn các tiên đề (1 '), (2), (3), (5) hoặc (6). Việc chúng có thỏa mãn bất kỳ tiên đề nhất quán nào hay không có thể phụ thuộc vào cách chúng được mở rộng thành .$f_2$$n\gt 2$

Trung bình mẫu thông thường thích tất cả các tính chất tiên đề này.

Chúng ta có thể gia tăng các tiên đề nhất quán để bao gồm

(4.d) cho tất cảx ∈ A n$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

Điều này ngụ ý rằng khi tất cả các yếu tố của một tập dữ liệu được lặp lại thường xuyên như nhau, giá trị trung bình không thay đổi. Điều này có thể quá mạnh, mặc dù: trung bình Winsorized không có thuộc tính này (ngoại trừ không có triệu chứng). Mục đích của Winsorizing ở mức là cung cấp khả năng chống lại các thay đổi trong ít nhất dữ liệu ở mức cực đoan. Chẳng hạn, giá trị trung bình 10% của là trung bình số học của , bằng , nhưng trung bình 10% của là .100 α % ( 1 , 2 , 3 , 6 ) ( 2 , 2 , 3 , 3 ) 2.5 ( 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 ) $100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

Tôi không biết các tiên đề nhất quán (4.a), (4.b) hoặc (4.c) sẽ là mong muốn hay hữu ích nhất. Chúng có vẻ độc lập: Tôi không nghĩ bất kỳ hai trong số chúng ngụ ý thứ ba.

Tôi nghĩ rằng trung vị có thể được coi là một loại khái quát của trung bình số học. Cụ thể, trung bình số học và trung vị (trong số những người khác) có thể được thống nhất là trường hợp đặc biệt của trung bình Chisini. Nếu bạn định thực hiện một số thao tác trên một tập hợp các giá trị, giá trị trung bình của Chisini là một số mà bạn có thể thay thế cho tất cả các giá trị ban đầu trong tập hợp và vẫn nhận được kết quả tương tự. Ví dụ: nếu bạn muốn tính tổng các giá trị của mình, thay thế tất cả các giá trị bằng giá trị trung bình số học sẽ mang lại cùng một tổng. Ý tưởng là một giá trị nhất định là đại diện cho các số trong tập hợp trong bối cảnh của một hoạt động nhất định đối với các số đó. (Một ý nghĩa thú vị của cách suy nghĩ này là một giá trị nhất định có nghĩa là số học trung bình chỉ có thể được coi là đại diện theo giả định rằng bạn đang làm một số việc với những con số đó.)

Điều này ít rõ ràng hơn đối với trung vị (và tôi lưu ý rằng trung vị không được liệt kê là một trong những phương tiện Chisini trên Wolfram hoặc Wikipedia ), nhưng nếu bạn cho phép các hoạt động trên các cấp bậc, thì trung vị có thể phù hợp với cùng một ý tưởng.

Câu hỏi không được xác định rõ. Nếu chúng ta đồng ý về định nghĩa "đường phố" chung có nghĩa là tổng của n số chia cho n thì chúng ta có cổ phần trong mặt đất. Hơn nữa Nếu chúng ta xem xét các biện pháp của xu hướng trung tâm, chúng ta có thể nói cả Nghĩa và Trung bình là sự hào phóng nhưng không phải của nhau. Một phần của nền tảng của tôi là không theo tham số nên tôi thích trung bình và sự mạnh mẽ mà nó cung cấp, bất biến cho sự biến đổi đơn điệu và hơn thế nữa. nhưng mỗi biện pháp có vị trí của nó tùy thuộc vào mục tiêu.