Có cách nào để cho phép tính thời vụ trong các hệ số hồi quy không?

8

Nói rằng tôi có một chuỗi thời gian, G _t và một đồng biến B _t . Tôi muốn tìm mối quan hệ giữa chúng theo mô hình ARMA:

G _t = Z _t + β ₀ + β ₁ B _t

trong đó Z _t dư tuân theo một số quy trình ARMA.

Vấn đề là: Tôi biết chắc chắn rằng β ₀ và β ₁ thay đổi theo thời gian trong năm. Tuy nhiên, tôi không muốn điều chỉnh một mô hình riêng biệt cho mỗi tháng vì điều đó giới thiệu sự gián đoạn vào chuỗi thời gian của tôi, điều đó có nghĩa là tôi không thể tính được hàm tự tương quan của phần dư cuối cùng.

Vì vậy, có một mô hình chuỗi thời gian (hoặc gia đình của các mô hình, tôi tự hỏi) cho phép các hệ số tương quan của các hiệp phương sai của nó thay đổi theo mùa?

========================

Chỉnh sửa: Cảm ơn bạn cho những người đã trả lời ở đây. Tôi quyết định chỉ sử dụng các hình nộm theo mùa, nhưng bận rộn nên không trả lời kịp.

— eddieisnutty
nguồn

Không, đây không phải là một câu hỏi ngớ ngẩn, khi bạn có nghĩa là "thay đổi tính thời vụ", bạn có nghĩa là sự thay đổi theo mùa theo thời gian và không phải là hằng số? nếu đó là trường hợp bạn cần một mô hình xử lý tính thời vụ ngẫu nhiên, mã hóa giả sẽ không hoạt động vì nó chỉ xử lý tính thời vụ xác định. Xem câu hỏi trước đó của tôi . Đơn giản chỉ cần mô hình là ARIMA (p, d, q) (P, D, Q) điều này sẽ làm điều đó.

Z_{t}

$Z_t$

— forecaster

6

Chỉnh sửa (Ý tưởng tương tự đã được đề xuất bởi Stephan Kolassa một vài phút trước khi tôi đăng câu trả lời của mình. Câu trả lời dưới đây vẫn có thể cung cấp cho bạn một số chi tiết có liên quan.)

Bạn có thể sử dụng các hình nộm theo mùa. Để đơn giản, tôi minh họa điều này cho một chuỗi thời gian hàng quý. Các hình nộm theo mùa là các biến chỉ số cho mỗi mùa. Hình nộm theo mùa thứ đảm nhận giá trị 1 cho những quan sát liên quan đến phần và 0 nếu không. Đối với một loạt hàng quý, các hình nộm theo mùa, , được định nghĩa như sau: $i$ $i$ $SD$

\begin{array}{rcl} S D = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] S D B = [\begin{array}{cccc} B_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{4} \\ B_{5} & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{n - 3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{n - 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{n} \end{array}] \end{array}

$\begin{eqnarray} SD = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \quad SDB = \left[ \begin{array}{cccc} B_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{4} \\ B_{5} & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{n-3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B_{n-2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B_{n} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}$

Bạn có thể nhân từng cột trong với biến giải thích và lấy ma trận được xác định ở trên. $SD$ $B_t$ $SDB$

Sau đó, bạn có thể chỉ định mô hình của mình như sau:

G_{t} = Z_{t} + β_{0, s} S D_{t} + β_{1, s} S D B_{t},

$G_t = Z_t + \beta_{0,s} SD_t + \beta_{1,s} SDB_t \,,$

trong đó chỉ số chỉ mùa. Quan sát rằng chúng tôi hiện có bốn hệ số (12 trong chuỗi hàng tháng của bạn) , một cho mỗi cột trong . $s$ $\beta_{1,s}$ $SDB$

Điều tương tự đối với việc chặn ngoại trừ việc chúng ta phải xóa một cột trong để tránh cộng tuyến hoàn hảo. Trong một chuỗi hàng tháng, bạn sẽ bao gồm 11 ví dụ đầu tiên theo mùa trong . $\beta_0$ $SD$ $SD$

Lắp mô hình ví dụ theo khả năng tối đa sẽ cung cấp cho bạn một ước tính hệ số cho mỗi mùa. Bạn cũng có thể kiểm tra xem có giống nhau cho tất cả hay tương tự nếu không đổi theo các mùa. $\beta_{0,s}$ $s$ $\beta_{1,s}$

— javlacalle
nguồn

1

+1. Mặc dù bạn không muốn sử dụng Bình phương tối thiểu thông thường nếu bạn có lỗi ARMA.

— Stephan Kolassa 17/2/2015

1

@javlacalle +1, Chúng ta có thể đơn giản sử dụng làm ARIMA (p, d, q) (P, D, Q) thay vì các hình nộm theo mùa để nắm bắt tính thời vụ không? Bằng cách đó, bạn cũng tính đến tính thời vụ ngẫu nhiên ngoài tính thời vụ xác định. Mặc dù điều này không giải quyết được câu hỏi của OP về tính thời vụ như các hệ số hồi quy, nhưng nó có thể đáng để làm nổi bật sự khác biệt.

Z_{t}

$Z_t$

— forecaster

1

@forecaster Tôi nghĩ rằng việc theo đuổi OP là để đo lường ảnh hưởng của đối với ở các mùa khác nhau. Điều này có thể được ghi lại bằng cách cho phép các hệ số thay đổi theo mùa, . Nếu không đổi cho tất cả các mùa thì chúng tôi không thể đo lường hiệu quả của ở mỗi mùa và kiểm tra xem sự khác biệt có ý nghĩa hay không. Ngoài ra, nếu là cố định, việc quan sát tính thời vụ trong phần dư có thể có nghĩa là có một hiệu ứng theo mùa không được ghi nhận bởi một hệ số duy nhất , thay vì cần phải mở rộng mô hình cho bằng mô hình ARIMA theo mùa.

B_{t}

$B_t$

G_{t}

$G_t$

β_{s, 1}

$\beta_{s,1}$

β_{1}

$\beta_1$

B_{t}

$B_t$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

Z_{t}

$Z_t$

— javlacalle

1

@Frank Việc đánh chặn được đặt thành không cho mùa còn lại. Các hệ số của các lần chặn liên quan đến các hệ số còn lại được hiểu là sự thay đổi đối với giá trị trung bình của mùa bị xóa (không nhất thiết bằng 0, nhưng giá trị được xác định bởi các hệ số và giá trị của các biến còn lại ở mùa đó).

— javlacalle

1

@Frank Nếu 11 colums được sử dụng trong , thì về nguyên tắc, bạn sẽ bao gồm một hằng (một cột của các cột); mặt khác, phần dư có thể không bằng 0 trung bình: . Ở mùa thứ 12 (phần còn lại), giá trị mong đợi của là . Các hệ số , được hiểu là những thay đổi liên quan đến ước tính của .

S D B

$SDB$

α

$\alpha$

G_{t} = α + Z_{t} + β_{0, s} S D_{t} + β_{1, s} S D B_{t}

$G_t = \alpha + Z_t + \beta_{0,s} SD_t + \beta_{1,s} SDB_t$

G_{t}

$G_t$

α + β_{1, 12} S D B_{t}

$\alpha+\beta_{1,12}SDB_t$

β_{0, s}

$\beta_{0,s}$

s = 1, \dots, 11

$s=1,\dots,11$

α

$\alpha$

— javlacalle

5

Chắc chắn là có. Đơn giản chỉ cần bao gồm các hình nộm hàng tháng trong một tương tác với . Đặt biểu thị một hình nộm là 1 nếu thời gian tương ứng với tháng và 0 nếu không. Sau đó, phù hợp với hồi quy sau với lỗi ARMA: $B_t$ $M_{tm}$ $t$ $m$

G_{t} = β M_{t \cdot} + γ B_{t} M_{t \cdot} + Z_{t}

$G_t = \beta M_{t\cdot} + \gamma B_tM_{t\cdot} + Z_t$

Trong đó là ARMA (p, q) và và là các vectơ tham số có độ dài 12. $Z_t$ $\beta$ $\gamma$

Bạn có thể thực hiện khớp thực tế bằng cách sử dụng R với nlmegói, sử dụng gls()hàm và chỉ định corARMA()cấu trúc tương quan .

— Stephan Kolass
nguồn

Nếu bạn không có nhiều điểm dữ liệu và muốn giữ các tham số thì sao? Có cách nào để trừ đi một mùa trong khi giữ các tham số ở mức tối thiểu không?

— Frank

1

@Frank: nếu chúng ta có quá ít dữ liệu để hỗ trợ một mô hình phức tạp, thì cá nhân tôi sẽ tìm đến sự chính quy hóa, như cách tiếp cận Lasso, lưới đàn hồi hoặc Bayesian.

— Stephan Kolassa

Cảm ơn bạn đã trả lời một câu hỏi cũ như vậy. Tôi có thể hỏi, và mỗi cái có 12 điều khoản không? Hoặc có 11 điều khoản? Tôi đã học về "cái bẫy biến giả", nhưng tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo nào thảo luận rõ ràng về trường hợp này. Ví dụ, mô hình này sẽ làm việc? Hay tôi cần giảm độ dài của vectơ xuống 1?

β M_{t}

$\beta M_t$

γ B_{t} M_{t}

$\gamma B_t M_t$

β M_{t}

$\beta M_t$

β

$\beta$

Y_{t} = β M_{t} + γ B_{t} M_{t} + f (t) + Z_{t}

$Y_t = \beta M_t + \gamma B_t M_t + f(t) + Z_t$

— Frank

1

@Frank: có, cả hai nên có 12 điều khoản vì không có đánh chặn . Nếu bạn xóa một thuật ngữ, giả sử , điều đó có nghĩa là giá trị trung bình trong tháng cho sẽ bằng 0, điều này thường sẽ không có ý nghĩa. Ngoài ra, bạn có thể bao gồm một phần chặn và một thuật ngữ cho làm hiệu ứng chính (không có tương tác với ), sau đó để lại một mục trong cả và - sẽ cung cấp cho bạn tham số, chính xác như nhiều mô hình tôi đề xuất. Nó chỉ là một thông số lại. Mô hình bạn đề xuất trong bình luận của bạn hoạt động (giả sử một xác định ).

β_{1}

$\beta_1$

1

$1$

B_{t} = 0

$B_t=0$

B_{t}

$B_t$

M

$M$

β

$\beta$

γ

$\gamma$

1 + 1 + 11 + 11 = 24

$1+1+11+11=24$

f

$f$

— Stephan Kolassa

1

Họ nên, vâng

— Stephan Kolassa

4

Nếu bạn không muốn phân biệt hiệu ứng theo mùa, bạn có thể giả sử rằng các hệ số hồi quy thay đổi theo chu kỳ là một hàm của thời gian trong năm, tức là và , sau đó nếu bạn thay thế chúng vào mô hình tuyến tính của mình, bạn sẽ nhận được một cái gì đó có dạng $\beta_0(t) = w_0 + w_1\sin nt + w_2\cos nt$ $\beta_1(t) = w_3 + w_4\sin nt + w_5\cos nt$

$G_t = Z_t + w_o + w_1\sin nt + w_2\cos nt + w_3B_t + w_4B_t\sin nt + w_5B_t\cos nt$

Bạn có thể điều chỉnh mô hình này bằng cách sử dụng hồi quy OLS (hoặc bất kỳ phương thức nào bạn đang sử dụng) với các hiệp phương trình bổ sung , , và , trong đó là bất cứ hằng số nào bạn cần biểu diễn năm ( cho chuỗi thời gian hàng ngày). $\sin nt$ $\cos nt$ $B_t\sin nt$ $B_t\cos nt$ $n$ $2\pi/365$

Điều này sẽ không đưa ra bất kỳ sự không liên tục nào trong mô hình vì tính thời vụ trong các hệ số hồi quy là các hàm trơn tru của thời gian. Tôi nghi ngờ nếu bạn thêm các thành phần sin và cos đại diện cho sóng hài của chu kỳ hàng năm, bạn có thể mô hình độ lệch từ biến thiên hình sin đơn giản trong các hệ số hồi quy (phương pháp kiểu chuỗi Fourier).

Hãy cẩn thận: Đã một ngày dài, vì vậy tôi có thể đã mắc một lỗi ngu ngốc ở đâu đó.

— Sao Hỏa Dikran
nguồn

(+1) Một cách tiếp cận lượng giác là một sự thay thế thú vị. Một điểm hấp dẫn khác của phương pháp lượng giác là nó có thể yêu cầu ít tham số hơn. Phương trình của bạn sử dụng 6 tham số so với 11 + 12 = 23 theo cách tiếp cận mà tôi đã thảo luận trong câu trả lời của mình. Trong thực tế, có lẽ chúng ta sẽ cần đưa vào ngoài tần số cơ bản theo mùa ( trong chuỗi hàng tháng) một số sóng hài của nó, sẽ cần nhiều tham số hơn. Nhưng chúng ta có thể có được sự phù hợp hợp lý mà không bao gồm tất cả các sóng hài và do đó số lượng tham số cần ước tính có thể giảm.

2 π / 12

$2\pi/12$

— javlacalle 17/2/2015

Một nhược điểm mà tôi thấy là việc giải thích ít đơn giản hơn trong bối cảnh mô hình hồi quy. Việc giải thích các hình nộm theo mùa 0-1 có thể được thực hiện theo các tháng thay vì theo chu kỳ theo mùa. Ví dụ, chúng tôi có thể kết luận rằng ảnh hưởng của nhiệt độ đến doanh số của một sản phẩm nhất định là cao nhất vào tháng 8 và không có ảnh hưởng lớn trong tháng 3. Theo cách tiếp cận lượng giác, chúng tôi sẽ kết luận ví dụ rằng ảnh hưởng của nhiệt độ đến doanh số theo một chu kỳ được lặp lại sau mỗi 6 tháng. Việc giải thích trước đây có thể nhiều thông tin hơn.

— javlacalle 17/2/2015

Bạn vẫn có thể làm điều đó với cách tiếp cận này, bạn có thể vẽ biến thể của từng và theo tổng trọng số của các thành phần sin và cosin và bạn có thể phân biệt rằng để xem doanh số thay đổi theo tháng như thế nào. Câu hỏi ban đầu cho thấy rằng không liên tục không muốn, trong đó ngụ ý một biến thể trơn tru. Vào cuối ngày, cách tiếp cận đúng phụ thuộc vào những gì bạn đang cố gắng tìm hiểu.

β_{0}

$\beta_0$

β_{1}

$\beta_1$

— Dikran Marsupial

1

Theo như tôi hiểu, mối quan tâm của OP là sự không liên tục trong phần dư, phù hợp với 12 mô hình hồi quy (một mô hình cho mỗi tháng) sẽ dẫn đến 12 loạt dư thay vì một loạt dư trong đó thực hiện một số chẩn đoán nhìn vào chúng tự kỷ. Cả hai hình nộm 0-1 và hình nộm lượng giác sẽ là một cách thích hợp để giải quyết vấn đề này. Cái nào là cách tiếp cận tự nhiên hơn sẽ phụ thuộc, như bạn nói, vào mục đích phân tích và loại thông tin mong muốn.

— javlacalle

Chúng ta hãy nhấn mạnh rằng câu hỏi là chung chung và chỉ có thẻ econometricstiết lộ mối quan tâm của OP ở bên đó. Đối với dữ liệu chuỗi thời gian môi trường, cách tiếp cận lượng giác thường rất thành công và tự nhiên, trong khi đó, tháng ngược lại có rất ít hoặc không có ý nghĩa ngay cả khi dữ liệu được báo cáo theo cách đó.

— Nick Cox

2

Điều chỉnh giá trị trung bình và hài của chu kỳ theo mùa với chuỗi thời gian của x và y. Chúng cung cấp các điều khoản đánh chặn. Sau đó, trừ chúng khỏi x và y để tạo ra sự bất thường. Sử dụng các bất thường x 'và y' này để tính các hệ số độ dốc hồi quy thay đổi theo mùa: Điều chỉnh sản phẩm mảng giữa x 'và y' với trung bình và hài bậc nhất cho chu kỳ theo mùa. Làm tương tự cho phương sai của x '. Sau đó chia chu kỳ theo mùa cho hiệp phương sai theo chu kỳ theo mùa cho phương sai để cung cấp các hệ số độ dốc liên tục phát triển. Để biết chi tiết, xem http: // onlinel Library.wiley.com/doi/10.1002/qj.3054/full

— Paul Roundy
nguồn