Hầu như chắc chắn hội tụ không bao hàm sự hội tụ hoàn chỉnh

Chúng tôi nói hội tụ hoàn toàn thành nếu với mọi .X ε > 0 Σ ∞ n = 1 P ( | X n - X | > ε ) < $X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Với bổ đề của Borel Cantelli là thẳng tiến để chứng minh rằng sự hội tụ hoàn toàn ngụ ý sự hội tụ gần như chắc chắn.

Tôi đang tìm kiếm một ví dụ gần như chắc chắn sự hội tụ không thể được chứng minh với Borel Cantelli. Đây là, một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ gần như chắc chắn nhưng không hoàn toàn.

Hãy $\Omega=(0,1)$ với Borel đại số sigma $\mathfrak{F}$ và thống nhất biện pháp $\mu$ . Định nghĩa

và ngược lại. Các X n là có thể đo đếm trên không gian xác suất ( Ω , F , μ ) .$X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Đối với bất kỳ và tất cả N > 1 / ω nó là trường hợp đó X n ( ω ) = 0 . Do đó, theo định nghĩa, chuỗi ( X n ) hội tụ về 0 (không chỉ gần như chắc chắn!).$\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

mà phân kỳ thành .$\infty$