Tối thiểu là gì

Tất cả các bản phân phối trên một khoảng giới hạn thỏa mãn:$[0,1]$

$$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$$

trong đó là giá trị trung bình và phương sai.σ $\mu$$\sigma^2$

Bây giờ giả sử rằng phân phối là không chính thống, theo nghĩa là nó có nhiều nhất một mức tối đa cục bộ. Giá trị tối thiểu mà tỷ lệ sau có thể có là gì:

$$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$$

Một mức tối thiểu không tồn tại. Tuy nhiên, một điều tối ưu nào. Nó xuất phát từ thực tế rằng

Các supremum của phương sai của phân phối unimodal xác định trên có nghĩa là μ là μ ( 2 - 3 μ ) / 3 ( 0 ≤ μ ≤ 1 / 2 ) hoặc ( 1 - μ ) ( 3 μ - 1 ) / 3 ( 1 / 2 ≤ L ≤ 1 ).$[0,1]$$\mu$$\mu(2 - 3\mu)/3$$0 \le \mu \le 1/2$$(1-\mu)(3\mu-1)/3$$1/2\le \mu \le 1$

Supremum thực sự đạt được bởi một phân phối - mặc dù nó không có chức năng mật độ - vẫn có thể (theo nghĩa tổng quát) được coi là "không chính thống"; nó sẽ có một nguyên tử tại (khi μ < 1 / 2 ) hoặc một nguyên tử tại 1 (khi μ > 1 / 2 ), nhưng nếu không được thống nhất.$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$

---

Tôi sẽ phác thảo lập luận. Câu hỏi yêu cầu chúng tôi tối ưu hóa chức năng tuyến tính

$$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$$

chịu các ràng buộc bình đẳng và bất bình đẳng khác nhau, trong đó là tập hợp các biện pháp (đã ký) trên khoảng [ 0 , 1 ] . Để phân biệt F : [ 0 , 1 ] → R và g : [ 0 , 1 ] → R bất kỳ hàm liên tục nào, hãy xác định$D[0,1]$$[0,1]$$F:[0,1]\to\mathbb{R}$$g:[0,1]\to\mathbb{R}$

$$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$$

và mở rộng đến tất cả D [ 0 , 1 ] theo tính liên tục.$\mathcal{L}$$D[0,1]$

Các ràng buộc bình đẳng là

$$\mathcal{L}_1[F] = 1$$

và

$$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$$

Các ràng buộc bất bình đẳng là

$$f(x) \ge 0$$

và có tồn tại (gọi là "chế độ") như vậy mà cho tất cả các 0 ≤ x ≤ y ≤ bước sóng và tất cả các bước sóng ≤ y ≤ x ≤ 1 ,$\lambda \in [0,1]$$0\le x \le y \le \lambda$$\lambda \le y \le x \le 1$

$$f(x) \le f(y).$$

Các ràng buộc này xác định miền lồi trong đó L x 2 sẽ được tối ưu hóa.$\mathcal{X}\subset D[0,1]$$\mathcal{L}_{x^2}$

Như với bất kỳ chương trình tuyến tính trong một không gian hữu hạn chiều, các cực trị của sẽ đạt được ở đỉnh của X . Đây rõ ràng là các biện pháp, hoàn toàn liên tục liên quan đến biện pháp Lebesgue, là hằng số từng phần , bởi vì các đỉnh là nơi mà hầu hết các bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức: và hầu hết các bất đẳng thức đó đều liên quan đến sự bất bình đẳng của F (hành vi không tăng đuôi) .$\mathcal{L}_g$$\mathcal{X}$$F$

Để thỏa mãn hai ràng buộc đẳng thức, chúng ta chỉ cần thực hiện một ngắt duy nhất trong biểu đồ của , giả sử tại một số 0 < λ < 1 . Cho giá trị liên tục trên khoảng [ 0 , λ ) được một và giá trị liên tục trên ( λ , 1 ] là b , một phép tính đơn giản dựa trên sản lượng hạn chế bình đẳng$f$$0\lt \lambda \lt 1$$[0,\lambda)$$a$$(\lambda, 1]$$b$

$$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$$

Con số này nói lên tất cả: nó đồ thị các hàm phân bố liên tục tại địa phương của trung bình với ít nhất một break duy nhất tại λ . (Cốt truyện của f ( λ , μ ) cho μ > 1 / 2 trông giống như sự đảo ngược của thế này.)$\mu$$\lambda$$f_{(\lambda,\mu)}$$\mu \gt 1/2$

Giá trị của theo các số đo như vậy (mà tôi sẽ biểu thị f ( λ , μ ) , mật độ của phân phối F ( λ , μ ) ) giống như được tính toán dễ dàng$\mathcal{L}_{x^2}$$f_{(\lambda, \mu)}$$F_{(\lambda, \mu)}$

$$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$$

Biểu thức này là tuyến tính trong , ngụ ý nó là tối đa tại 0 (khi μ < 1 / 2 ), 1 (khi μ > 1 / 2 ), hoặc tại bất kỳ giá trị (khi μ = 1 / 2 ). Tuy nhiên, trừ khi μ = 1 / 2 , các giá trị giới hạn của các biện pháp f ( λ , μ ) không còn liên tục: sự phân bố tương ứng với F = lim λ → $\lambda$$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$$\mu = 1/2$$\mu=1/2$$f_{(\lambda, \mu)}$ hoặc F = lim λ → 1 F ( λ , μ ) có gián đoạn nhảy ở 0 hoặc 1 (nhưng không phải cả hai).$F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$$0$$1$

Con số này vẽ đồ thị tối ưu cho một trung bình của L ≈ 2 / 5 .$F$$\mu \approx 2/5$

Bất kể, giá trị tối ưu là

$$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$$

Do đó, infimum của cho 0 ≤ μ < 1 / 2 là$\mu(1-\mu)/\sigma^2$$0\le \mu \lt 1/2$

$$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$$

với một biểu thức so sánh khi (thu được bằng cách thay thế μ bằng 1 - μ ).$1/2\lt \mu \le 1$$\mu$$1-\mu$

Con số này âm mưu supremum so với μ .$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$$\mu$