khilà biến liên tục

Tôi biết rằng đối với biến liên tục .$P[X=x]=0$

Nhưng tôi không thể hình dung rằng nếu , thì có vô số số có thể có . Và tại sao xác suất của họ trở nên vô cùng nhỏ?$P[X=x]=0$$x$

Xác suất là mô hình cho tần số quan sát tương đối . Nếu một sự kiện được quan sát thấy đã xảy ra lần trên thử nghiệm, thì tần số tương đối của nó là và người ta thường tin rằng giá trị bằng số của tỷ lệ trên là một xấp xỉ gần đúng với khi "lớn" trong đó ý nghĩa của "lớn" là tốt nhất để lại cho trí tưởng tượng (và độ tin cậy) của người đọc.N A N tần số tương đối của  ( A ) = N $A$$N_A$$N$ P(A)

Bây giờ, người ta đã quan sát thấy rằng nếu mô hình của chúng ta là biến ngẫu nhiên liên tục, thì các mẫu của là số khác nhau. Do đó, tần số tương đối của một số cụ thể (hoặc, hơn về mặt giáo dục, sự kiện ) là nếu một trong các có giá trị hoặc nếu tất cả các khác nhau từ . Nếu một người đọc đa nghi hơn thu thập thêm một mẫu , tần suất tương đối của sự kiện làX { x 1 , x 2 , Hoài , x N } N x { X = x } $X$$X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$$N$$x$$\{X = x\}$ xix$\frac 1N$$x_i$$x$ xixN{X=x}$\frac 0N$$x_i$$x$$N$$\{X=x\}$$\frac{1}{2N}$ hoặc tiếp tục tận hưởng giá trị . Do đó, người ta cố đoán rằng nên được gán giá trị vì đó là một xấp xỉ tốt với tần số tương đối quan sát được. P{X=x}$\frac 0N$$P\{X = x\}$$0$

Lưu ý: giải thích trên là (thường) thỏa đáng cho các kỹ sư và những người khác quan tâm đến việc áp dụng xác suất và thống kê (tức là những người tin rằng các tiên đề của xác suất đã được chọn để biến lý thuyết thành một mô hình thực tế tốt), nhưng hoàn toàn không thỏa đáng cho nhiều người khác Cũng có thể tiếp cận câu hỏi của bạn từ góc độ hoàn toàn toán học hoặc thống kê và chứng minh rằng phải có giá trị bất cứ khi nào là biến ngẫu nhiên liên tục thông qua các suy luận logic từ các tiên đề của xác suất và không có bất kỳ tham chiếu nào đến tần số tương đối hoặc quan sát vật lý, vv0 $P\{X = x\}$ $0$$X$

Hãy là không gian khả năng tiềm ẩn. Chúng ta nói rằng hàm X có thể đo được : Ω → R là biến ngẫu nhiên hoàn toàn liên tục nếu số đo xác suất μ X trên ( R , B ) được xác định bởi μ X ( B ) = P { X ∈ B } , được gọi là phân phối của X , bị chi phối bởi Lebesgue đo λ , theo nghĩa là cho mỗi Borel bộ $(\Omega,\mathscr{F},P)$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$\mu_X$$(\mathbb{R},\mathscr{B})$$\mu_X(B)=P\{X\in B\}$$X$$\lambda$$B$, nếu , thì μ X ( B ) = 0 . Trong trường hợp này, định lý Radon-Nikodym cho chúng ta biết rằng có một phép đo f X : R → R , được định nghĩa gần như ở mọi nơi tương đương, sao cho μ X ( B ) = ∫ B f ( x $\lambda(B)=0$$\mu_X(B)=0$$f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Hãy B = { x 1 , x 2 , ... } là tập con đếm được của R . Kể từ λ là đếm được phụ gia, λ ( B ) = λ ( ∪ i ≥ 1 { x i } ) = Σ i ≥ 1 λ ( { x i } ) . Nhưng λ ( { x $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$$B=\{x_1,x_2,\dots\}$$\mathbb{R}$$\lambda$$\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$ với mọi n ≥ 1 . Do Tiên đề Archimede của số thực, vì λ ( { x i } ) ≥ 0 , sự bất bình đẳng ( * ) giữ cho mọi n ≥ 1 khi và chỉ khi λ ( { x i } ) = 0 , kéo theo đó λ ( B ) = 0 . Từ tính liên tục tuyệt đối giả định của X , theo đó μ

là một biến ngẫu nhiên liên tục có nghĩa là hàm phân phối F của nó là liên tục . Đây là điều kiện duy nhất chúng ta có nhưng từ đó chúng ta có thể rút ra rằng P ( X = x ) = 0 .$X$$F$$P(X = x) = 0$

$F$$F(x) = F(x-)$$x \in \mathbb{R}^1$