Làm cách nào tôi có thể tính toán ở dạng đóng?

Làm thế nào người ta có thể đánh giá kỳ vọng của CDF bình thường ở dạng đóng?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Ở đây, , là các số thực, và và là các hàm mật độ và phân phối của một biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn thông thường, tương ứng. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
nguồn

Bạn bị kẹt ở đâu? Bạn đã thử đánh giá nó chưa? Có thể sử dụng thực tế là

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— stoched

Tôi đã cố gắng đánh giá tích phân, sử dụng tích hợp bởi các bộ phận và các kỹ thuật (đơn giản) khác, nhưng điều đó không dẫn tôi đến đâu cả. Ngoài ra, tôi thực sự bắt đầu từ phương sai để đến đây. Tôi đã tìm thấy một câu hỏi tương tự ( stats.stackexchange.com/questions/61080/ Khăn ), nhưng việc mở rộng sang CDF bình phương dường như không tầm thường.

— Andrei

Bạn đã xem xét sử dụng tọa độ cực?

— StatsStudent

Không, tôi không biết, bạn có thể nói chi tiết một chút không?

— Andrei

Nếu và , thì được phân bố đồng đều giữa 0 và 1. Khoảnh khắc thứ hai của nó là . Tôi nhớ lại việc cố gắng tính toán một cái gì đó giống như những gì bạn yêu cầu chung cho và , nhưng tôi không tìm thấy giải pháp dạng đóng nào.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Như đã lưu ý trong nhận xét của tôi ở trên, hãy kiểm tra Wikipedia để biết danh sách các tích phân của các hàm Gaussian. Sử dụng ký hiệu của bạn, nó cho trong đó là hàm T của Owen được xác định bởi

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Nếu bạn cắm bạn sẽ nhận được như các nhận xét cho biết bạn nên làm. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— ngâm
nguồn

Cảm ơn bạn rất nhiều, đây chính xác là những gì tôi đang tìm kiếm.

— Andrei