Phân phối của , trong đó là phân phối đồng đều?

17

Tôi có bốn biến phân phối đồng nhất độc lập , mỗi biến trong . Tôi muốn tính toán phân phối của . Tôi đã tính phân phối của là (vì thế ) và của thành Bây giờ, phân phối của một tổng là ( cũng độc lập) vì $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $u_2=4bc$

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$ . Ở đây, nó phải là

x > y

$x>y$ nên tích phân bằng

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{x} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$ Bây giờ tôi chèn nó vào

và nhận được

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \frac{1}{4} [- x + x \ln \frac{x}{4} - 2 \sqrt{x} (- 2 + \ln x)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

Tôi đã tạo bốn bộ độc lập $a,b,c,d$ gồm $10^6$ số mỗi số và vẽ một biểu đồ của $(a-d)^2+4bc$ :

nhập mô tả hình ảnh ở đây

và đã vẽ một âm mưu của $f_{u_1+u_2}(x)$ :

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Nói chung, cốt truyện tương tự như biểu đồ, nhưng trên khoảng $(0,5)$ phần lớn là âm (gốc nằm ở 2.27034). Và tích phân của phần dương là $\approx 0.77$ .

Lỗi ở đâu? Hay tôi đang thiếu thứ gì?

EDIT: Tôi đã thu nhỏ biểu đồ để hiển thị PDF.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

EDIT 2: Tôi nghĩ rằng tôi biết vấn đề ở đâu trong lý luận của mình - trong giới hạn tích hợp. Vì và , tôi không thể đơn giản . Cốt truyện cho thấy khu vực tôi phải tích hợp vào: $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Điều này có nghĩa là tôi có cho (đó là lý do tại sao một phần của của tôi là chính xác), trong và in . Thật không may, Mathicala không tính được hai tích phân sau (tốt, nó tính toán thứ hai, bởi có một đơn vị tưởng tượng trong đầu ra làm hỏng mọi thứ ... ). $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

EDIT 3: Dường như Mathicala CÓ THỂ tính toán ba tích phân cuối cùng với mã sau:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

đưa ra câu trả lời đúng :)

— corey979
nguồn

2

Tôi thích rằng bạn đã thử kiểm tra tính hợp lý của câu trả lời của bạn bằng mô phỏng. Vấn đề của bạn là bạn biết mình đã mắc lỗi, nhưng không thể thấy rõ ở đâu. Bạn đã xem xét rằng bạn có thể kiểm tra từng giai đoạn của phương pháp của mình để khắc phục lỗi nằm ở đâu chưa? Ví dụ: lỗi có nằm trong không? Chà, bạn có thể kiểm tra bản PDF được tính toán của mình so với kết quả mô phỏng giống như bạn đã làm cho câu trả lời cuối cùng của mình. Ditto cho . Nếu và đều đúng, thì bạn đã mắc lỗi khi kết hợp chúng. Việc kiểm tra từng bước như vậy cho phép bạn xác định chính xác nơi bạn đã sai!

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— Cá bạc

Tôi đã vứt bỏ nỗ lực đầu tiên của mình và tính toán lại từ đầu. Tôi tin rằng và là chính xác, mặc dù tôi đã phải nhân thủ công ban đầu của mình với 2 để nó được chuẩn hóa thành thống nhất. Nhưng điều đó chỉ thay đổi chiều cao và không giải thích tại sao tôi có âm .

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979 30/03/2015

Khi tạo biểu đồ như vậy để so sánh với các đại lượng được tính toán, hãy chia tỷ lệ biểu đồ thành mật độ hợp lệ (và xếp chồng chúng nếu bạn có thể). Thực hiện một kiểm tra tương tự cho F1 và f2 của bạn để đảm bảo bạn có quyền đó; nếu họ đúng (tôi chưa thấy lý do chính đáng nào để nghi ngờ họ, nhưng tốt nhất nên kiểm tra lại), thì vấn đề phải là sau.

— Glen_b -Reinstate Monica

19

Thường thì nó giúp sử dụng các hàm phân phối tích lũy.

Đầu tiên,

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

Kế tiếp,

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

Đặt phạm vi giữa giá trị nhỏ nhất ( ) và lớn nhất ( ) có thể của . Viết bằng CDF và với PDF , chúng ta cần tính toán $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

Chúng ta có thể mong đợi điều này là nasty-- phân phối PDF thống nhất là không liên tục và do đó phải tạo ra sự đứt đoạn trong định nghĩa của --so nó là hơi ngạc nhiên là Mathematica có được một hình thức đóng cửa (mà tôi sẽ không tái sản xuất ở đây). Phân biệt nó với cho mật độ mong muốn. Nó được xác định piecewise trong vòng ba khoảng. Trong , $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

Trong , $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

Và trong , $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

Nhân vật

Hình này chồng lên một biểu đồ trên biểu đồ iid hiện thực hóa . Cả hai gần như không thể phân biệt được, cho thấy tính chính xác của công thức cho . $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

Sau đây là một gần mindless, brute-force Mathematica giải pháp. Nó tự động hóa thực tế mọi thứ về tính toán. Chẳng hạn, nó thậm chí sẽ tính toán phạm vi của biến kết quả:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

Đây là tất cả sự tích hợp và khác biệt. (Hãy kiên nhẫn; tính toán mất vài phút.) $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

Cuối cùng, một mô phỏng và so sánh với biểu đồ của : $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— whuber
nguồn

8

(+1), đặc biệt là để nhắc nhở mọi người rằng, thay vì nói về mật độ mật độ, "Thông thường, nó giúp sử dụng các hàm phân phối tích lũy" - đặc biệt khi chúng có dạng đơn giản như ở đây. Và bạn cũng nhanh chóng chết tiệt.

— Alecos Papadopoulos

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

F

$F$

G

$G$

7

Giống như OP và whuber, tôi sẽ sử dụng tính độc lập để giải quyết vấn đề đơn giản hơn:

$X = (a-d)^2$ $X$ $f(x)$

$Y = 4 b c$ $Y$ $g(y)$

$X + Y$ TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

$Z = X + Y$

$h(z)$

Kiểm tra nhanh Monte Carlo

Sơ đồ sau đây so sánh một xấp xỉ theo kinh nghiệm của Monte Carlo của pdf (màu xanh nguệch ngoạc) với pdf lý thuyết xuất phát ở trên (màu đỏ nét đứt). Có vẻ ổn.

— chó sói
nguồn