Phân phối gần đúng sản phẩm của N iid bình thường? Trường hợp đặc biệt μ≈0

Cho iid và , đang tìm kiếm: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

xấp xỉ phân phối dạng đóng chính xác của $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
xấp xỉ tiệm cận ( hàm mũ ?) của cùng một sản phẩm

Đây là trường hợp đặc biệt $\mu_X \approx 0$ của một câu hỏi tổng quát hơn .

— Andrei Pozolotin
nguồn

1. Bạn có bất kỳ thông tin nào về và không? (Sẽ thật tuyệt nếu tất cả chẳng hạn.) (2) Một phép tính gần đúng bình thường không có triệu chứng sẽ rất kinh khủng , bởi vì không có triệu chứng sẽ không nhìn từ xa bình thường.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Tôi chỉ có một trò chơi nhanh với điều này. Nếu bạn quan tâm, có thể nhận được một giải pháp dạng đóng chính xác cho sản phẩm của biến ngẫu nhiên là iid . Trường hợp khác không làm cho mọi thứ phức tạp hơn nhiều.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— sói

@whuber (1) sau khi thực hiện một số monte carlo với một số và khác nhau , tôi thấy rằng phân phối của hoạt động khá tốt cho và ; bây giờ tôi muốn tìm một biểu thức hay cho và tương tự như cách có một vài xấp xỉ đẹp. Tôi đã xây dựng một vài xấp xỉ thông qua việc mở rộng taylor, nhưng chúng hoạt động sai. (2) tốt, chắc chắn "trông" giống như một tổng bình thường với bình phương chi, vì vậy có thể được giảm xuống bình thường, nếu xấp xỉ "chứng minh" điều đó.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Khi , sẽ được xấp xỉ một cách độc đáo bởi một phân phối logic (như một ứng dụng của định lý Barry-Esseen cho hiển thị).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber ứng dụng trực tiếp của Barry-Esseen cho , đó là tốt đẹp thực sự, nhưng nó thua một số cấu trúc: nên tiêu cực, nên phụ thuộc vào , v.v. có lẽ, có cách nào tốt hơn để áp dụng nó?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Có thể có được một giải pháp chính xác trong trường hợp không có nghĩa (phần B).

Vấn đề

Đặt biểu thị iid biến, mỗi biến có pdf phổ biến : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Chúng tôi tìm kiếm pdf của , với $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Giải pháp

Pdf của sản phẩm của hai tiêu chuẩn như vậy chỉ đơn giản là:

... nơi tôi đang sử dụng TransformProducthàm từ gói mathStatica cho Mathematica . Miền hỗ trợ là:

Sản phẩm của 3, 4, 5 và 6 Định mức thu được bằng cách lặp lại áp dụng cùng một chức năng (ở đây bốn lần):

... nơi MeijerGbiểu thị chức năng Meijer G

Theo cảm ứng, pdf của sản phẩm của iid biến ngẫu nhiên là: $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Kiểm tra nhanh Monte Carlo

Dưới đây là một kiểm tra nhanh so sánh:

pdf lý thuyết vừa thu được (khi và ): Đường cong DASHED ĐỎ $n = 6$ $\sigma=3$
theo kinh nghiệm Monte Carlo pdf: đường cong BLUE nguệch ngoạc

Có vẻ ổn! [đường cong Monte uốn lượn màu xanh lam đang che khuất đường cong nét đứt màu đỏ chính xác]

— chó sói
nguồn

Nổi bật, cảm ơn bạn, Colin. Bây giờ tôi thấy lý do tại sao tôi phải mua sách của bạn :-) Cũng khiến tôi tự hỏi liệu vẻ đơn giản hơn không. Đã đến lúc phủi bụi kỹ năng Wolfram của tôi.

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Andrei Pozolotin