Giải thích trực quan cho mật độ của biến đổi?

Giả sử là một biến ngẫu nhiên với pdf . Khi đó biến ngẫu nhiên có pdf$X$$f_X(x)$$Y=X^2$

$$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$$

Tôi hiểu các tính toán đằng sau này. Nhưng tôi đang cố nghĩ cách giải thích cho ai đó không biết tính toán. Cụ thể, tôi đang cố gắng giải thích tại sao yếu tố xuất hiện ở phía trước. Tôi sẽ đâm vào nó:$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Giả sử có phân phối Gaussian. Hầu như tất cả trọng lượng của pdf của nó là giữa các giá trị, chẳng hạn, và Nhưng điều đó bản đồ để 0-9 cho . Vì vậy, trọng lượng nặng trong pdf cho đã được mở rộng trên một phạm vi rộng lớn hơn của giá trị trong việc chuyển đổi sang . Do đó, để là một pdf thực sự, trọng lượng cực lớn phải được giảm trọng lượng bởi hệ số nhân$X$$-3$$3.$$Y$$X$$Y$$f_Y(y)$$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Nghe như thế nào?

Nếu bất cứ ai có thể cung cấp một lời giải thích tốt hơn của riêng họ hoặc liên kết với một trong tài liệu hoặc sách giáo khoa, tôi sẽ đánh giá rất cao nó. Tôi tìm thấy ví dụ biến đổi biến này trong một số sách xác suất / thống kê toán học giới thiệu. Nhưng tôi không bao giờ tìm thấy một lời giải thích trực quan với nó :(

Các tệp PDF có chiều cao nhưng chúng được sử dụng để thể hiện xác suất bằng phương tiện diện tích. Do đó, nó giúp thể hiện một tệp PDF theo cách nhắc nhở chúng ta rằng diện tích bằng với chiều cao cơ sở thời gian.

Ban đầu chiều cao ở bất kỳ giá trị $x$ được đưa ra bởi PDF $f_X(x)$ . Cơ sở là phân đoạn vô hạn $dx$ , từ đó phân phối (nghĩa là thước đo xác suất trái ngược với hàm phân phối ) thực sự là dạng vi phân, hay "phần tử xác suất",

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$$

Đây, chứ không phải PDF, là đối tượng bạn muốn làm việc với cả khái niệm và thực tế, bởi vì nó bao gồm rõ ràng tất cả các yếu tố cần thiết để thể hiện một xác suất.

Khi chúng ta biểu thị lại $x$ theo $y = x^2$ , các phân đoạn cơ sở bị kéo dài (hoặc bị nén): bằng cách bình phương cả hai đầu của khoảng từ đến x + d x, chúng ta thấy rằng cơ sở của khu vực y phải một khoảng thời gian$dx$$x$$x + dx$$y$

$$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$$

Bởi vì sản phẩm của hai infinitesimals không đáng kể so với chính infinitesimals, chúng tôi kết luận

$$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$$

Đã thiết lập điều này, việc tính toán là không đáng kể vì chúng ta chỉ cần cắm chiều cao mới và chiều rộng mới:

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$$

Bởi vì cơ sở, về mặt $y$ , là $dy$ , bất kỳ số nhân nào cũng phải là chiều cao, mà chúng ta có thể đọc trực tiếp từ giữa kỳ như

$$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$$

Phương trình này $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$ là một định luật bảo toàn diện tích (= xác suất).

Đồ họa này hiển thị chính xác các phần hẹp (gần như vô hạn) của hai tệp PDF có liên quan bởi $y=x^2$ . Xác suất được đại diện bởi các khu vực bóng mờ. Do việc nén khoảng $[0.32, 0.45]$ qua bình phương, chiều cao của vùng màu đỏ ( $y$ , ở bên trái) phải được mở rộng theo tỷ lệ để phù hợp với diện tích của vùng màu xanh ( $x$ , ở bên phải).

Làm thế nào về, nếu tôi sản xuất các đối tượng luôn luôn vuông và tôi biết phân phối độ dài cạnh của hình vuông; Tôi có thể nói gì về sự phân bố các khu vực của hình vuông?

Cụ thể, nếu tôi biết phân phối của một biến ngẫu nhiên , tôi có thể nói gì về Y = X 2 ? Một điều mà bạn có thể nói là$X$$Y = X^{2}$

$$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$$

Vì vậy, mối quan hệ được thiết lập giữa CDF của và CDF của X ; mối quan hệ giữa các tệp PDF của họ là gì? Chúng ta cần tính toán cho điều đó. Lấy các dẫn xuất của cả hai bên cho bạn kết quả bạn muốn.$Y$$X$

Hãy tưởng tượng chúng ta có một dân số và $Y$ là một bản tóm tắt về dân số đó. Khi đó $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ đang đếm tỷ lệ các cá nhân có biến $Y$ trong phạm vi $(y, y + \Delta y)$ . Bạn có thể xem xét việc này như là một "bin" của kích thước $\Delta y$ và chúng tôi đang đếm có bao nhiêu cá nhân là bên trong thùng đó.

Bây giờ chúng ta lại thể hiện những cá nhân về một biến khác, $X$ . Cho rằng chúng ta biết rằng $Y$ và $X$ có liên quan như $Y = X^2$ , sự kiện $Y\in (y, y + \Delta y)$ cũng giống như sự kiện $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ mà giống với sự kiện $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ . Do đó, các cá thể trong thùng$(y, y + \Delta y)$ cũng phải ở trong các thùng$(|x|, |x| + \Delta x)$ và$(- |x| -\Delta x, -|x| )$ . Nói cách khác, những thùng đó phải có cùng tỷ lệ cá nhân,

$$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$$

Ok, bây giờ hãy đến mật độ. Đầu tiên, chúng ta cần xác định mật độ xác suất là gì. Như tên cho thấy, nó là tỷ lệ của các cá nhân trên mỗi khu vực . Đó là, chúng tôi đếm phần của các cá nhân trên thùng đó và chia cho kích thước của thùng . Vì chúng tôi đã xác định rằng tỷ lệ của mọi người là như nhau ở đây, nhưng kích thước của các thùng đã thay đổi, chúng tôi kết luận mật độ sẽ khác nhau. Nhưng khác nhau bao nhiêu?

Như chúng ta đã nói, mật độ xác suất là tỷ lệ người trong thùng chia cho kích thước của thùng, do đó mật độ của $Y$ được cho bởi $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ . Tương tự, mật độ xác suất của$X$được cho bởi$f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$ .

Từ kết quả trước đó của chúng tôi rằng dân số trong mỗi thùng là như nhau, sau đó chúng tôi có điều đó,

$$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$$

$f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$$\frac{\Delta x}{\Delta y}$ , là kích thước tương đối của việc kéo dài hoặc ép kích thước thùng. Trong trường hợp của chúng tôi, vì$y = x^2$$y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$$\Delta x$$\Delta x ^2$$\Delta y = 2x \Delta x$$\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$$\frac{1}{2 \sqrt{y}}$