Xác suất của một cặp giá trị liên tiếp

Cho phép trong đó và là độc lập . $X=(x_1, x_2,...x_{20})$ $x_i\sim N(0,1)$ $x_i, x_j$ $\forall i\neq j$

Xác suất để lấy mẫu trong đó có ít nhất hai giá trị liên tiếp và sao cho ? $X$ $x_i$ $x_{i+1}$ $\begin{cases} |x_{i}| & > & 1.5 \\ |x_{i+1}| & > & 1.5 \\ x_i x_{i+1} & < & 0 \end{cases}$

probability markov-chain

— ý chí198
nguồn

0

$0$ ? Hoặc có một lỗi đánh máy trong câu hỏi? Xác suất có hai số và tích của chúng là là .

| 1.5 | = 1.5

$|1.5|=1.5$

> 1.5

$>1.5$

< 0

$<0$

0

$0$

— Dmitry Rubanovich

vớiÝ tôi là hoặc và với Tôi có nghĩa là một giá trị là> 0 và giá trị kia là <0 0. Ví dụ và phù hợp với cả hai điều kiện.

x_{i}, x_{i + 1} > | 1.5 |

$x_i, x_{i+1}>|1.5|$

x_{i}, x_{i + 1} > 1.5

$x_i, x_{i+1}>1.5$

x_{i}, x_{i + 1} < - 1.5

$x_i, x_{i+1}< -1.5$

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$

x_{i} = 1.8

$x_i=1.8$

x_{i + 1} = - 2

$x_{i+1}=-2$

— will198

Điều kiện đầu tiên phải là và điều kiện thứ hai là

| x_{i} |, | x_{i + 1} | < 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|<1.5$

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$

— will198

Sau đó, nó là một lỗi đánh máy. Nó sẽ nói .

| x_{i} |, | x_{i + 1} | > 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|>1.5$

— Dmitry Rubanovich

Mỗi trong số 20 biến của bạn có cơ hội khoảng 0,0668 là trên 1,5 và cùng cơ hội dưới -1,5. Điều này làm giảm vấn đề của bạn thành một câu hỏi về các biến rời rạc (3 giá trị) có thể được giải quyết bằng quy tắc chuỗi. Phải có khả năng lập trình một hàm cho điều này, với giới hạn của bạn (1,5) và số lượng biến liên tiếp (20) làm đầu vào. Bạn có khái niệm về R, SAS hay js không?

— Dirk Horsten

Chạy một chuỗi Markov.

Đặt "lật" (tại chỉ mục ) là sự kiện và có dấu hiệu trái ngược nhau và cả hai đều vượt quá kích thước. Khi chúng tôi quét qua bất kỳ nhận thức nào về đang tìm kiếm các lần lật, chúng tôi có thể khai thác tính đối xứng của phân phối chuẩn để mô tả quy trình chỉ với bốn trạng thái: $i$ $X_{i-1}$ $X_{i}$ $1.5$ $(X_i)$

Các Bắt đầu , trước khi được quan sát. $X_1$
Không , trong đó . $-1.5 \le X_{i-1} \le 1.5$
Một , trong đó . $|X_{i-1}| \gt 1.5$
Lật , trong đó một lật xảy ra tại . $i$

Bắt đầu chuyển đổi sang trạng thái (hỗn hợp)

μ = (1 - 2 p, 2 p, 0)

$\mu = (1-2p, 2p, 0)$

(tương ứng với cơ hội ở các trạng thái ( Không , Một , Lật )) trong đó Bởi vì Bắt đầu không bao giờ được nhìn thấy nữa, chúng ta đừng bận tâm theo dõi thêm nữa.

p = Pr (X_{1} < - 1.5) = Pr (X_{1} > 1.5) \approx 0.0668072.

$p = \Pr(X_1 \lt -1.5) = \Pr(X_1 \gt 1.5) \approx 0.0668072.$

Zero chuyển thành Một với xác suất (khi ) và nếu không thì vẫn ở Zero . $2p$ $|X_i|\gt 1.5$

Một chuyển đổi thành Flipped với xác suất : điều này xảy ra khi và có dấu ngược lại là . Nó cũng chuyển trở lại One với xác suất khi và có cùng dấu với . Nếu không, nó chuyển sang Zero . $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$ $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$

Lật là trạng thái hấp thụ: một khi ở đó, không có gì thay đổi bất kể giá trị của . $X_i$

Do đó, ma trận chuyển tiếp (bỏ qua Bắt đầu thoáng qua ) cho ( Không , Một , Lật ) là do đó

P = (\begin{array}{ccc} 1 - 2 p & 2 p & 0 \\ 1 - 2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\mathbb{P} = \left( \begin{array}{ccc} 1-2 p & 2 p & 0 \\ 1-2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Sau khi rời trạng thái bắt đầu (và vào trạng thái hỗn hợp ), các chuyển tiếp sẽ được thực hiện trong quá trình quét để lật. Do đó, xác suất mong muốn là mục nhập thứ ba (tương ứng với Flipped ) trong $\mu$ $20-1$

μ \cdot P^{20 - 1} \approx 0.149045.

$\mu \cdot \mathbb{P}^{20-1} \approx 0.149045.$

Chi tiết tính toán

Chúng ta không cần thực hiện phép nhân ma trận để có được . Thay vào đó, sau khi chéo $18$ $\mathbb{P}^{19}$

P = Q^{- 1} E Q,

$\mathbb{P} = \mathbb{Q}^{-1} \mathbb{E} \mathbb{Q},$

câu trả lời cho bất kỳ số mũ (thậm chí số lớn) có thể được tính toán chỉ bằng một phép nhân ma trận như $n$

μ \cdot P^{n} = (μ \cdot Q^{- 1}) E^{n} Q

$\mu\cdot\mathbb{P}^n = \left(\mu\cdot\mathbb{Q}^{-1}\right) \mathbb{E}^n \mathbb{Q}$

với

μ \cdot Q^{- 1} = (1, \frac{- 4 p^{2} + p + 1 - \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}, - \frac{- 4 p^{2} + p + 1 + \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - 7 p) p + 1}}),

$\mu \cdot \mathbb{Q}^{-1} = \left(1,\frac{-4 p^2+p+1-\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}},-\frac{-4 p^2+p+1+\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}}\right),$

Q = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{(1 + p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - 1 + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - \frac{1 + p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \\ \frac{(1 + p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - 1 - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - \frac{1 + p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \end{array})

$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{\left(1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \frac{\left(1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \end{array} \right)$

và

E^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {(\frac{1}{2} (1 - p - \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} & 0 \\ 0 & 0 & {(\frac{1}{2} (1 - p + \sqrt{- 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} \end{array})

$\mathbb{E}^n = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n \\ \end{array} \right)$

Một mô phỏng hàng triệu lần (sử dụng R) hỗ trợ kết quả này. Đầu ra của nó,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

ước tính câu trả lời là với khoảng tin cậy bao gồm . $0.1488$ $[0.1477, 0.1499]$ $0.149045$

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results

— whuber
nguồn

Đối với người tò mò, kỹ thuật mà Whuber khai thác để lấy số mũ của ma trận chuyển tiếp đôi khi được gọi là "Đường chéo" trong sách giáo khoa đại số tuyến tính cơ bản.

— Sycorax nói phục hồi Monica