Hiểu công thức phân biệt

Tôi có một chuỗi thời gian và tôi muốn mô hình hóa nó như là một quy trình ARFIMA (còn gọi là FARIMA). Nếu được tích hợp theo thứ tự (phân số) , tôi muốn phân biệt nó một chút để làm cho nó đứng yên.$y_t$$y_t$$d$

Câu hỏi : công thức sau đây xác định phân biệt phân số có đúng không?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Ở đây biểu thị sự khác biệt phân số của đơn hàng .)$\Delta^d$$d$

Tôi dựa trên công thức của bài viết Wikipedia này về ARFIMA , Chương ARFIMA ( ), nhưng tôi không chắc liệu tôi có hiểu đúng không.$0,d,0$

Vâng, nó có vẻ đúng. Bộ lọc phân số được xác định bởi khai triển nhị thức:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Lưu ý rằng là toán tử độ trễ và bộ lọc này không thể được đơn giản hóa khi . Bây giờ hãy xem xét quá trình:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Mở rộng, chúng tôi nhận được:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

có thể được viết là:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Xem Động lực giá tài sản, tính biến động và dự đoán của Stephen J. Taylor (trang 243 trong phiên bản 2007) hoặc Chuỗi thời gian: Lý thuyết và phương pháp của Brockwell và Davis để tham khảo thêm.