Kết hợp tuyến tính của hai phi chuẩn ngẫu nhiên vẫn là thành viên của cùng một gia đình

Người ta biết rằng sự kết hợp tuyến tính của 2 biến bình thường ngẫu nhiên cũng là một biến bình thường ngẫu nhiên. Có bất kỳ gia đình phân phối không bình thường phổ biến nào (ví dụ: Weibull) cũng chia sẻ tài sản này không? Dường như có nhiều phản ứng mẫu. Ví dụ, sự kết hợp tuyến tính của đồng phục thường không đồng nhất. Cụ thể, có bất kỳ gia đình phân phối không bình thường nào mà cả hai điều sau đây đều đúng:

1. Một kết hợp tuyến tính của hai biến ngẫu nhiên từ gia đình đó tương đương với một số phân phối trong gia đình đó.
2. (Các) tham số kết quả có thể được xác định là một hàm của các tham số gốc và các hằng số trong tổ hợp tuyến tính.

Tôi đặc biệt quan tâm đến sự kết hợp tuyến tính này:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

nơi và X 2 được lấy mẫu từ một số gia đình không bình thường, với các thông số q 1 và θ 2 , và Y đến từ các gia đình không bình thường cùng với tham số θ Y = f ( θ 1 , θ 2 , w ) .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Tôi đang mô tả một họ phân phối với 1 tham số cho đơn giản, nhưng tôi mở cho các họ phân phối có nhiều tham số.

Ngoài ra, tôi đang tìm ví dụ (s), nơi có rất nhiều không gian tham số trên và θ 2 để làm việc với mục đích mô phỏng. Nếu bạn chỉ có thể tìm thấy một ví dụ hoạt động cho một số rất cụ thể θ 1 và θ 2 , điều đó sẽ ít hữu ích hơn.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Người ta biết rằng sự kết hợp tuyến tính của 2 biến bình thường ngẫu nhiên cũng là một biến bình thường ngẫu nhiên. Có bất kỳ gia đình phân phối không bình thường phổ biến nào (ví dụ: Weibull) cũng chia sẻ tài sản này không?

$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$. Nếu bạn đang đề cập đến định lý giới hạn trung tâm, thì chẳng hạn, các phân phối gamma có cùng hệ số hình dạng sẽ chia sẻ thuộc tính đó và kết hợp thành phân phối gamma. Xin vui lòng xem Một lưu ý cảnh báo về việc gọi định lý giới hạn trung tâm . Tuy nhiên, nói chung, với các hệ số hình dạng không đồng đều, các phân phối gamma sẽ "thêm" bằng một tổ hợp không phải là phân phối gamma mà là một hàm gamma nhân một hàm siêu bội của loại thứ nhất như trong Eq. (2) tích chập của hai phân phối gamma . Định nghĩa khác về việc thêm, đó là hình thành một phân phối hỗn hợp của các quá trình không liên quan sẽ không nhất thiết phải thể hiện bất kỳ giới hạn trung tâm nào, ví dụ, nếu các phương tiện khác nhau.

Có lẽ có những ví dụ khác, tôi đã không thực hiện một tìm kiếm toàn diện. Đóng cửa cho tích chập dường như không phải là quá xa vời. Đối với kết hợp tuyến tính, sản phẩm của Pearson VII với Pearson VII là một Pearson VII khác .

Người ta biết rằng sự kết hợp tuyến tính của 2 biến bình thường ngẫu nhiên cũng là một biến bình thường ngẫu nhiên. Có bất kỳ gia đình phân phối không bình thường phổ biến nào (ví dụ: Weibull) cũng chia sẻ tài sản này không?

$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

$d=0$

Các bản phân phối ổn định Levy có thể được coi là một họ các bản phân phối theo đúng nghĩa của nó và theo nghĩa này, đây là họ phân phối duy nhất có thuộc tính ổn định này, vì (theo định nghĩa) nó bao gồm tất cả các bản phân phối với thuộc tính này. Phân phối bình thường nằm trong nhóm phân phối ổn định Levy, cũng như phân phối Cauchy , phân phối Landau và phân phối Holtsmark .