Làm cách nào tôi có thể ước tính xác suất của một thành viên ngẫu nhiên trong một dân số là tốt hơn so với một thành viên ngẫu nhiên từ một dân số khác?

Giả sử tôi có lấy mẫu từ hai quần thể riêng biệt. Nếu tôi đo thời gian mỗi thành viên thực hiện một nhiệm vụ, tôi có thể dễ dàng ước tính giá trị trung bình và phương sai của mỗi dân số.

Nếu bây giờ tôi đưa ra giả thuyết một cặp ngẫu nhiên với một cá nhân trong mỗi quần thể, tôi có thể ước tính xác suất rằng cái đầu tiên nhanh hơn cái thứ hai không?

Tôi có một ví dụ cụ thể trong đầu: các phép đo là thời gian để tôi đạp xe từ A đến B và các quần thể đại diện cho các tuyến đường khác nhau mà tôi có thể đi; Tôi đang cố gắng tìm ra xác suất để chọn tuyến A cho chu kỳ tiếp theo của mình sẽ nhanh hơn chọn tuyến B. Khi tôi thực sự thực hiện chu trình, tôi đã có một điểm dữ liệu khác cho tập mẫu của mình :).

Tôi biết rằng đây là một cách đơn giản khủng khiếp để cố gắng giải quyết vấn đề này, nhất là bởi vì vào bất kỳ ngày nào, gió có khả năng ảnh hưởng đến thời gian của tôi hơn bất cứ điều gì khác, vì vậy hãy cho tôi biết nếu bạn nghĩ tôi đang hỏi câu hỏi sai ...

Giải pháp

Đặt hai phương tiện là và μ y và độ lệch chuẩn của chúng lần lượt là σ x và σ y . Sự khác biệt về timings giữa hai cưỡi ( Y - X ) do đó có trung bình μ y - μ x và độ lệch chuẩn $\mu_x$$\mu_y$$\sigma_x$$\sigma_y$$Y-X$$\mu_y - \mu_x$ . Sự khác biệt được tiêu chuẩn hóa ("điểm z") là$\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}$

Trừ khi thời gian đi xe của bạn có các phân phối lạ, cơ hội đi xe mất nhiều thời gian hơn đi xe X là xấp xỉ phân phối tích lũy Bình thường, Φ , được đánh giá tại z .$Y$$X$$\Phi$$z$

Tính toán

Bạn có thể xác định xác suất này trên một trong những chuyến đi của mình vì bạn đã có ước tính v.v .:-). Với mục đích này nó thật dễ dàng để ghi nhớ một vài giá trị quan trọng của Φ : Φ ( 0 ) = 0,5 = 1 / 2 , Φ ( - 1 ) ≈ 0,16 ≈ 1 / 6 , Φ ( - 2 ) ≈ 0,022 ≈ 1 / 40 , và Φ ( - 3 ) ≈ $\mu_x$$\Phi$$\Phi(0) = .5 = 1/2$$\Phi(-1) \approx 0.16 \approx 1/6$$\Phi(-2) \approx 0.022 \approx 1/40$ . (Các xấp xỉ có thể nghèo cho | z | lớn hơn nhiều so với 2 , nhưng biết Φ ( - 3 ) giúp với suy.) Cùng với Φ ( z ) = 1 - Φ ( - z ) và một chút suy, bạn có thể nhanh chóng ước tính xác suất đến một con số đáng kể, quá đủ chính xác với bản chất của vấn đề và dữ liệu.$\Phi(-3) \approx 0.0013 \approx 1/750$$|z|$$2$$\Phi(-3)$$\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)$

Thí dụ

Giả sử tuyến mất 30 phút với độ lệch chuẩn là 6 phút và tuyến Y mất 36 phút với độ lệch chuẩn là 8 phút. Với đủ dữ liệu bao gồm nhiều điều kiện khác nhau, biểu đồ dữ liệu của bạn cuối cùng có thể xấp xỉ những điều này:$X$$Y$

(Đây là các hàm mật độ xác suất cho các biến Gamma (25, 30/25) và Gamma (20, 36/20). Quan sát rằng chúng bị lệch sang phải, như người ta mong đợi cho thời gian đi xe.)

Sau đó

Từ đâu

Chúng ta có

Do đó, chúng tôi ước tính câu trả lời là 0,6 trong khoảng từ 0,5 đến 0,84: 0,5 + 0,6 * (0,84 - 0,5) = khoảng 0,70. (Giá trị chính xác nhưng quá chính xác cho phân phối Bình thường là 0,73.)

Có khoảng 70% cơ hội rằng tuyến đường sẽ mất nhiều thời gian hơn so với lộ trình X . Thực hiện tính toán này trong đầu bạn sẽ đưa tâm trí của bạn ra khỏi ngọn đồi tiếp theo. :-)$Y$$X$

(Xác suất chính xác cho biểu đồ được hiển thị là 72%, mặc dù không phải là Bình thường: điều này minh họa phạm vi và tiện ích của xấp xỉ Bình thường cho sự khác biệt về thời gian chuyến đi.)

Cách tiếp cận theo bản năng của tôi có thể không phức tạp nhất về mặt thống kê, nhưng bạn có thể thấy nó vui hơn :)

Tôi sẽ lấy một tờ giấy có kích thước vừa phải và chia các cột thành các khối thời gian. Tùy thuộc vào thời gian di chuyển của bạn - chúng ta đang nói về thời gian trung bình là 5 phút hoặc một giờ - bạn có thể sử dụng các khối có kích thước khác nhau. Giả sử mỗi cột là một khối hai phút. Chọn một màu cho tuyến A và một màu khác cho tuyến B và sau mỗi chuyến đi, tạo một dấu chấm trong cột thích hợp. Nếu đã có một chấm màu đó, hãy di chuyển lên một hàng. Nói cách khác, đây sẽ là một biểu đồ với số lượng tuyệt đối.

Sau đó, bạn sẽ xây dựng một biểu đồ thú vị với mỗi chuyến đi của bạn và có thể thấy trực quan sự khác biệt giữa hai tuyến đường.

Cảm giác của tôi dựa trên kinh nghiệm của chính tôi khi đi xe đạp (không được xác minh thông qua định lượng) là thời gian sẽ không được phân phối bình thường - họ sẽ có một độ lệch tích cực, hay nói cách khác là một cái đuôi dài của thời gian thượng lưu. Thời gian điển hình của tôi không dài hơn thời gian ngắn nhất của tôi, nhưng thỉnh thoảng tôi dường như bật hết đèn đỏ, và có một cấp cao hơn nhiều. Kinh nghiệm của bạn có thể khác nhau. Đó là lý do tại sao tôi nghĩ cách tiếp cận biểu đồ có thể tốt hơn, vì vậy bạn có thể tự mình quan sát hình dạng của phân phối.

Tái bút: Tôi không có đủ đại diện để bình luận trong diễn đàn này, nhưng tôi thích câu trả lời của người viết! Ông giải quyết mối quan tâm của tôi về độ lệch khá hiệu quả với một phân tích mẫu. Và tôi thích ý tưởng tính toán trong đầu để giữ cho tâm trí của bạn khỏi ngọn đồi tiếp theo :)

$X$$Y$$x,y$$x > y$$P(X_{i} > Y_{j})$$i,j$

#X, Y are the two data sets
ii = rep(0,10000)
for(k in 1:10000)
{
   x1 = sample(X,1)
   y1 = sample(Y,1)
   ii[k] = (x1>y1) 
}

# this is an estimate of P(X>Y)
mean(ii)