Phân phối này có tên không? Hoặc một quá trình ngẫu nhiên có thể tạo ra nó là gì?

Một phân phối rời rạc với chức năng khối lượng

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

phát sinh trên trang 9 của bài viết này .

Với đó là phân phối Yule-Simon với , nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ ví dụ nào khác. $k=1$ $\rho=1$

Nó có tên không? Nó có xuất hiện trong bất kỳ bối cảnh nào khác không? Có một quá trình ngẫu nhiên đơn giản có thể tạo ra nó?

distributions

— Simon Byrne
nguồn

Đó là một luật sức mạnh riêng biệt.

(Đây là một mô tả - ý nghĩa của ai sẽ được thực hiện chính xác dưới đây - chứ không phải là một thuật ngữ kỹ thuật. Cụm từ "luật sức mạnh rời rạc" có ý nghĩa kỹ thuật hơi khác nhau, như được chỉ ra bởi @Cardinal trong các bình luận cho câu trả lời này.)

Để thấy điều này, hãy quan sát rằng phân tách một phần có thể được viết

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Các kính thiên văn CDF ở dạng kín:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Ngẫu nhiên, vì điều này dễ dàng đảo ngược, nó ngay lập tức cung cấp một cách hiệu quả để tạo các biến ngẫu nhiên từ phân phối này: chỉ cần tính toán trong đó được phân phối đồng đều trên .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Phân biệt biểu thức này đối với cho thấy CDF có thể được viết như thế nào $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

từ đâu

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Hình thức viết này thể hiện là một tham số tỷ lệ cho họ phân phối (liên tục) được xác định bởi mật độ $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

và chỉ ra cách là phiên bản rời rạc của (được chia theo tỷ lệ ) thu được bằng cách tích hợp xác suất liên tục trong khoảng từ đến . Đó rõ ràng là một luật sức mạnh với số mũ . Quan sát này cung cấp cho bạn một lối vào tài liệu mở rộng về luật sức mạnh và cách chúng phát sinh trong khoa học, kỹ thuật và thống kê, có thể gợi ý nhiều câu trả lời cho hai câu hỏi cuối cùng của bạn. $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
nguồn

(+1) Từ hàm khối lượng xác suất, rõ ràng là , dường như đủ để kết luận rằng đó là phân phối theo luật công suất. Trong thực tế, dưới dạng .

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— Đức hồng y

@cardinal Bạn nói đúng, nhưng có một giới hạn để lập luận này: nó chỉ cho thấy rằng là tiệm cận một định luật hàm mũ. Các tính toán cho thấy đó chính xác là một phiên bản rời rạc của luật quyền lực.

p

$p$

— whuber

Tôi không chắc lắm về sự khác biệt mà bạn đang cố vẽ. Thật không may, tôi đã không có cơ hội để suy nghĩ về nó một cách cẩn thận, nhưng có vẻ như bạn đang xác định một phân phối luật công suất rời rạc như là một phiên bản rời rạc của phân phối luật quyền lực liên tục. Tôi có diễn giải chính xác nhận xét của bạn không? Ở bất cứ giá nào, khi tôi thấy tham chiếu đến các định luật sức mạnh rời rạc trong tài liệu, định nghĩa thông thường dường như là yếu hơn (nghĩa là không có triệu chứng) mà tôi đã sử dụng. (tiếp)

— hồng y

(Tiếp theo) Mặt khác, phân phối Zipf dường như hoàn toàn theo luật công suất rời rạc nhất có thể, nhưng tôi không tin rằng nó có thể được tạo ra như một sự rời rạc của luật công suất liên tục. Tôi đã giải thích sai ý định của bạn? (Nhân tiện, sự phát triển của bạn ở trên khá tốt. Sự công nhận của tổng số kính thiên văn cho cdf là rất tốt, cũng như sự công nhận của một sơ đồ lấy mẫu dễ dàng.)

— Hồng y

Được rồi, sau khi điều tra thêm một chút, tôi tìm thấy một số chi tiết.

Đây là trường hợp đặc biệt của một hỗn hợp liên tục của phân phối hình học với Beta, vì vậy có thể được gọi là phân phối hình học Beta . Cụ thể, nếu: và: thì phân phối biên của có phân phối này. Như vậy, đây là trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức Beta âm .

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

Nó có một vài tính chất thú vị khác:

Nó có một ý nghĩa vô hạn
Nó mô tả phân phối đuôi của chính nó: nếu có phân phối này với tham số , thì có tham số . $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Simon Byrne
nguồn