Ý nghĩa trực quan đằng sau một biến ngẫu nhiên được định nghĩa là một mạng tinh thể là gì?

Trong lý thuyết xác suất, một biến ngẫu nhiên không âm được gọi là một mạng nếu tồn tại sao cho .$X$$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Có một giải thích hình học cho lý do tại sao định nghĩa này được gọi là một mạng?

Điều đó có nghĩa là $X$ rời rạc và có một số khoảng cách đều đặn cho phân phối của nó; nghĩa là, khối lượng xác suất được tập trung vào một tập hợp các điểm hữu hạn / có thể đếm được ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Lưu ý rằng không phải tất cả các phân phối rời rạc là mạng tinh thể. Ví dụ: nếu $X$ có thể đảm nhận các giá trị $\{1, e, \pi, 5\}$ , thì đây không phải là một mạng vì không có $d$ sao cho tất cả các giá trị có thể được biểu thị dưới dạng bội của $d$ .

Thuật ngữ này kết nối biến ngẫu nhiên với các khái niệm của lý thuyết nhóm được sử dụng để nghiên cứu các đối xứng hình học. Do đó, bạn có thể thích nhìn thấy kết nối tổng quát hơn, điều này sẽ làm sáng tỏ ý nghĩa và các ứng dụng tiềm năng của các biến ngẫu nhiên mạng.

Lý lịch

Trong toán học, một "mạng" là một nhóm con riêng biệt của một nhóm tôpô ( thường được coi là có một covolume hữu hạn ).$\mathcal{L}$$G$

• "Rời rạc" có nghĩa là xung quanh mỗi phần tử là một tập mở chỉ chứa : . Nó sẽ là công bằng để nghĩ về như là một "khuôn mẫu" hay "bình thường" sắp xếp các điểm trong .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Nhóm hoạt động trên bằng cách "di chuyển các điểm trong xung quanh trong ", tạo thành một quỹ đạo ra khỏi mỗi người. Một miền cơ bản của hành động này bao gồm một điểm duy nhất trong mỗi quỹ đạo. có thể được trang bị với một biện pháp - biện pháp Haar - dùng để đo các kích thước, hoặc khối lượng , của Borel tập con đo lường được của . Một miền cơ bản có thể đo lường có thể được tìm thấy. Khối lượng của nó là covolume của . Khi nó là hữu hạn, chúng ta có thể nghĩ được xếp theo miền cơ bản này và các phần tử của$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$ như di chuyển gạch xung quanh.

Bất kỳ cặp nào của những con ngựa biển này - nơi một mặt phải và mặt kia lộn ngược - có thể là một miền cơ bản cho mạng tinh thể rõ ràng trong mặt phẳng Euclide. MC Escher, Ngựa biển (số 11) .

Một biến ngẫu nhiên "mạng tinh thể" được hỗ trợ trên một mạng trong . ( R n , +$X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ X Pr ( X ∈ L ) = 1 Điều này có nghĩa là tất cả xác suất của nó được chứa trong việc đóng lưới. Do một mạng là rời rạc, nó bị đóng, do đó, các giá trị của nằm trên mạng gần như chắc chắn: .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Ứng dụng

Nhóm ngụ ý của câu hỏi là nhóm phụ của các số thực, , với cấu trúc liên kết thông thường (Euclide). Là một nhóm con, một mạng phải bao gồm . Điều đó một mình sẽ không đủ, bởi vì thương số có âm lượng vô hạn ("volume" = "length" trong trường hợp 1D này). Do đó, có ít nhất một phần tử khác 0 . Tất cả các quyền hạn của yếu tố này cũng phải nằm trong nhóm phụ. Vì hoạt động là bổ sung , sức mạnh của là . Do đó chứa tất cả các bội số củaL 0 R / { 0 } g ∈ L n th g n g L$(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$$\mathcal{L}$$g$ (bao gồm cả những người tiêu cực).

Nếu có hai phần tử không phải là lũy thừa của nhau, thì có thể dễ dàng hiển thị (sử dụng một chút lý thuyết số) rằng (1) tất cả các kết hợp , cho , tương ứng một đối một với các cặp theo thứ tự và (2) các kết hợp này dày đặc trong , có nghĩa là không rời rạc. Từ đó, thật đơn giản để kết luận rằng tất cả các phần tử trong là lũy thừa của một số . Đây là trình tạo của . n g + m h n , m ∈ Z ( m , n ) R L L g $h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$g$$\mathcal{L}$

(Một đối số tương tự cho thấy các mạng trong phải có tạo. Các trình tạo cho màu nước Escher có thể là một bản dịch của hai đơn vị xuống và một bản dịch xuống một đơn vị và một đơn vị dịch xuống đơn vị ở bên phải, khoảng.)$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Do đó, tương ứng với bất kỳ biến ngẫu nhiên mạng có giá trị thực nào trên phải là một trình tạo , từ đó( R , + ) g ≠ $X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Do đó, định nghĩa trong câu hỏi có thể được hiểu là của biến mạng không âm . Chúng tôi cũng có thể muốn quy định rằng , nếu không được hỗ trợ trên nhóm con , trong đó, có covolume vô hạn, không phải là một mạng.X { 0 $\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Sự khái quát

Các số thực dương tạo thành một nhóm nhân. Một mạng trong nhóm này sẽ có dạng cho một số . (Covolume của mạng này là .) Theo đó, bất kỳ biến ngẫu nhiên nào mà$(\mathbb{R}^{+}, {\times})$$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

có thể được coi là một biến mạng trong nhóm này. Rõ ràng, sẽ là một biến mạng trên .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$