Là trung bình là một số liệu của người Cameron và một tài sản tôpô tôpô?

Tôi xin lỗi vì lạm dụng thuật ngữ nhẹ; Tôi hy vọng nó sẽ trở nên rõ ràng những gì tôi muốn nói dưới đây.

Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên . Cả giá trị trung bình và trung bình đều có thể được đặc trưng bởi một tiêu chí tối ưu: Giá trị trung bình là số đó làm giảm thiểu và trung vị số đó giảm thiểu . Trong viễn cảnh này, sự khác biệt giữa giá trị trung bình và trung bình là sự lựa chọn "số liệu" để đánh giá độ lệch, bình phương hoặc giá trị tuyệt đối.μ E ( ( X - μ ) 2 ) E ( | X - μ |$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

Mặt khác, trung vị là số mà (giả sử tính liên tục tuyệt đối), nghĩa là định nghĩa này chỉ phụ thuộc vào khả năng sắp xếp các giá trị của và không phụ thuộc vào chúng khác nhau bao nhiêu Hậu quả của điều này là đối với mọi hàm tăng nghiêm ngặt , , có nghĩa là "topo" theo nghĩa của bất biến dưới các biến đổi "giống như cao su". Xf(x)median(f(X))=f(median(X)$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Bây giờ tôi đã thực hiện phép toán và tôi biết rằng bắt đầu từ tiêu chí tối ưu, tôi có thể đến -quantile, vì vậy cả hai đều mô tả cùng một điều. Nhưng tôi vẫn bối rối, bởi vì trực giác của tôi nói với tôi rằng một cái gì đó phụ thuộc vào "số liệu" không thể dẫn đến một thuộc tính "tôpô".$\frac12$

Ai đó có thể giải quyết câu đố này cho tôi?

Lỗ hổng trong lý luận của bạn là một cái gì đó phụ thuộc vào một số liệu có thể là một thuộc tính tô pô.

Lấy sự gọn nhẹ của không gian số liệu. Điều này có thể được định nghĩa theo số liệu: độ nén có nghĩa là không gian đã hoàn thành (phụ thuộc vào số liệu) và hoàn toàn bị ràng buộc (phụ thuộc vào số liệu). Mặc dù, hóa ra tài sản này là một bất biến theo chủ nghĩa đồng nhất, và thực tế, có thể được định nghĩa theo chỉ cấu trúc liên kết (bìa phụ hữu hạn của bất kỳ trang bìa nào, theo cách thông thường).

Một ví dụ khác là các lý thuyết tương đồng khác nhau. Chỉ có tương đồng số ít là thực sự tô pô trong định nghĩa của nó. Tất cả những cái khác, đơn giản, di động, De Rham (cohomology, nhưng cấp cho tôi một chút lỏng lẻo), v.v., phụ thuộc vào cấu trúc bổ sung, nhưng hóa ra là tương đương (và khá dễ dàng hơn để làm việc với).

Điều này xuất hiện rất nhiều trong toán học, đôi khi cách dễ nhất để xác định một cái gì đó là về mặt cấu trúc phụ trợ, và sau đó nó được chứng minh rằng thực tế kết quả hoàn toàn không phụ thuộc vào sự lựa chọn cấu trúc phụ trợ.