Phân phối rời rạc này có một tên?

Phân phối rời rạc này có một tên? Đối với$i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Tôi đã xem qua bản phân phối này từ các mục sau: Tôi có một danh sách mục được xếp hạng theo một số chức năng tiện ích. Tôi muốn chọn ngẫu nhiên một trong các mục, thiên về phần đầu của danh sách. Vì vậy, trước tiên tôi chọn một chỉ số giữa 1 và thống nhất. Sau đó tôi chọn một mục giữa các chỉ số 1 và . Tôi tin rằng quá trình này dẫn đến phân phối ở trên.j N $N$$j$$N$$j$

Bạn có một phiên bản rời rạc của phân phối nhật ký âm, nghĩa là phân phối có hỗ trợ là và có pdf là .f ( t ) = - log $[0, 1]$$f(t) = - \log t$

Để thấy điều này, tôi sẽ xác định lại biến ngẫu nhiên của bạn để lấy các giá trị trong tập thay vì và gọi kết quả phân phối . Sau đó, yêu cầu của tôi là{ 0 , 1 , 2 , Hoài , N } $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

vì trong khi được giữ (xấp xỉ) không đổi. $N, t \rightarrow \infty$$\frac{t}{N}$

Đầu tiên, một thí nghiệm mô phỏng nhỏ chứng minh sự hội tụ này. Đây là một triển khai nhỏ của bộ lấy mẫu từ bản phân phối của bạn:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Đây là biểu đồ của một mẫu lớn được lấy từ bản phân phối của bạn:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

và đây là pdf logarit:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

Để xem tại sao sự hội tụ này xảy ra, hãy bắt đầu với biểu thức của bạn

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

và nhân và chia cho$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

Tổng cộng bây giờ là tổng Riemann cho hàm , được tích hợp từ đến . Đó là, đối với lớn ,$g(x) = \frac{1}{x}$ 1$\frac{t}{N}$$1$$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

đó là biểu hiện tôi muốn đến

Điều này dường như có liên quan đến phân phối Whitworth. (Tôi không tin đó là phân phối Whitworth, vì nếu tôi nhớ đúng, đó là phân phối của một tập hợp các giá trị được đặt hàng, nhưng dường như nó được kết nối với nó và dựa trên cùng một sơ đồ tổng hợp.)

Có một số cuộc thảo luận về Whitworth (và nhiều tài liệu tham khảo) trong

Anthony Lawrance và Robert Marks, (2008)
"Phân phối quy mô doanh nghiệp trong một ngành có nguồn lực hạn chế" ,
Kinh tế học ứng dụng , tập. 40, số 12, trang 1595-1607

(Dường như có một phiên bản giấy làm việc ở đây )

Cũng thấy

Nancy L Geller, (1979)
Một thử nghiệm về tầm quan trọng đối với bản phân phối Whitworth,
Tạp chí của Hiệp hội Khoa học Thông tin Hoa Kỳ , số 30 (4), tr.229-231