Tôi đang làm việc về việc tạo ra một hậu thế Bình thường-Wishart nhưng tôi bị kẹt ở một trong các tham số (phía sau của ma trận tỷ lệ, xem ở phía dưới).
Chỉ cho bối cảnh và tính đầy đủ, đây là mô hình và phần còn lại của các dẫn xuất:
xiμΛ∼N(μ,Λ)∼N(μ0,(κ0Λ)−1)∼W(υ0,W0)
Các hình thức mở rộng của mỗi trong ba yếu tố là (tối đa hằng số tỷ lệ) là:
Khả năng:
N(xi|μ,Λ)∝|Λ|N/2exp(−12∑i=1N(xTiΛxi−2μTΛxi+μTΛμ))
Bình thường trước:
N(μ|(μ0,κ0Λ)−1)∝|Λ|1/2exp(−12(μTκ0Λμ−2μTκ0Λμ0+μT0κ0Λμ0))
Wishart trước:
W(Λ|υ0,W0)∝|Λ|υ0−D−12exp(−12tr(W−10Λ))
Chúng tôi muốn các hậu tố Bình thường-Wishart ( ) có thể được phân tách thành cũng như :μ,Λ|μ′,κ′,υ′,W′N(μ|μ,κ′Λ)W(Λ|υ′,W′)
Suy thoái tự doυ′
Bằng cách hợp nhất các yếu tố đầu tiên của khả năng và Wishart, chúng tôi có được yếu tố đầu tiên của yếu tố Wishart ở phía sau:
và do đó chúng ta có tham số đầu tiên của hậu thế:
|Λ|υ0+N−D−12
υ′=υ0+N
Hệ số tỷ lệκ′
Chúng tôi xác định các yếu tố được bao quanh bởi và để tìm ai là được cập nhật theo khả năng:
và do đó chúng tôi có tham số thứ hai:
μTμκ0Λ
μT((κ0+N)Λ)μ
κ′=κ0+N
Có nghĩa làμ′
Các tham số thứ ba đến từ việc xác định những gì bên trong :
Và do đó, chúng tôi đã có tham số thứ ba:
2μT...
2μT(ΛNx¯¯¯+κ0Λμ0)(ΛNx¯¯¯+κ0Λμ0)(Nx¯¯¯+κ0μ0)=2μTκ′Λμ′=κ′Λμ′=κ′μ′
μ′=1k′(Nx¯¯¯+κ0μ0)
Ma trận tỷ lệW′
Và tham số thứ tư xuất phát từ việc làm việc với các tham số còn lại:
tr(W′−1Λ)=tr(W−10Λ)+∑i=1NxTiΛxi+μT0κ0Λμ0=tr(W−10Λ)+∑i=1Ntr(xTiΛxi)+tr(μT0κ0Λμ0)=tr(W−10Λ+∑i=1NxTiΛxi+μT0κ0Λμ0)
Làm cách nào để tiếp tục từ đây (nếu tôi không mắc lỗi nào) và có được giải pháp chuẩn cho ?W′
Chỉnh sửa 1 :
Bây giờ chúng tôi sắp xếp lại các điều khoản, thêm và trừ một số yếu tố để có được hai hình vuông như trong giải pháp tiêu chuẩn:
tr(W′−1Λ)==tr(W−1Λ+∑i=1N(xTiΛxi+x¯¯¯TΛx¯¯¯−2xTiΛx¯¯¯)+κ0(μT0Λμ0+x¯¯¯TΛx¯¯¯−2x¯¯¯TΛμ0)−∑i=1Nx¯¯¯TΛx¯¯¯+2∑i=1NxTiΛx¯¯¯−κ0x¯¯¯TΛx¯¯¯+2κ0x¯¯¯TΛμ0)tr(W−1Λ+∑i=1N(xi−x¯¯¯)Λ(xi−x¯¯¯)T+κ0(x¯¯¯−μ0)Λ(x¯¯¯−μ0)T−Nx¯¯¯Λx¯¯¯T+2Nx¯¯¯Λx¯¯¯T−κ0x¯¯¯Λx¯¯¯T+2κ0x¯¯¯ΛμT0)
Chúng tôi đơn giản hóa các yếu tố nằm ngoài các ô vuông:
tr(W′−1Λ)=tr(W−1Λ+∑i=1N(xi−x¯¯¯)TΛ(xi−x¯¯¯)+κ0(x¯¯¯−μ0)TΛ(x¯¯¯−μ0)+(N−κ0)x¯¯¯TΛx¯¯¯+2κ0x¯¯¯TΛμ0)
Chỉnh sửa 2 ( theo dõi nhờ câu trả lời của @bdeonovic )
Dấu vết là chu kỳ, vì vậy . Sau đó:
và sau đó:
tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
tr(W′−1Λ)=tr(W−1Λ+∑i=1N(xi−x¯¯¯)(xi−x¯¯¯)TΛ+κ0(x¯¯¯−μ0)(x¯¯¯−μ0)TΛ+(N−κ0)x¯¯¯x¯¯¯TΛ+2κ0x¯¯¯μT0Λ)
tr(W′−1)=tr(W−1+∑i=1N(xi−x¯¯¯)(xi−x¯¯¯)T+κ0(x¯¯¯−μ0)(x¯¯¯−μ0)T+(N−κ0)x¯¯¯x¯¯¯T+2κ0x¯¯¯μT0)
Hầu hết! Nhưng vẫn không có. Mục tiêu là:
W−1+∑i=1N(xi−x¯¯¯)(xi−x¯¯¯)T+κ0Nκ0+N(x¯¯¯−μ0)(x¯¯¯−μ0)T