Làm thế nào để tính toán mức độ tin cậy cho phân phối Poisson?

32

Tôi muốn biết làm thế nào tôi có thể tự tin vào của tôi . Bất cứ ai cũng biết một cách để thiết lập mức độ tin cậy trên và dưới cho phân phối Poisson? $\lambda$

Quan sát ( ) = 88 $n$
Giá trị trung bình mẫu ( ) = 47.18182 $\lambda$

Độ tin cậy 95% sẽ như thế nào cho điều này?

poisson-distribution confidence-interval

— Travis
nguồn

Bạn cũng có thể xem xét bootstrapping ước tính của bạn. Đây là một hướng dẫn ngắn về bootstrapping.

— Mark T Patterson

27

Đối với Poisson, giá trị trung bình và phương sai đều là . Nếu bạn muốn khoảng tin cậy xung quanh lambda, bạn có thể tính toán sai số chuẩn là . $\lambda$ $\sqrt{\lambda / n}$

Khoảng tin cậy 95 phần trăm là . $\hat{\lambda} \pm 1.96\sqrt{\hat{\lambda} / n}$

— Nick Stauner
nguồn

26

Điều này tốt khi lớn, sau đó Poisson được xấp xỉ đầy đủ bởi một phân phối chuẩn. Đối với các giá trị nhỏ hoặc độ tin cậy cao hơn, khoảng thời gian tốt hơn có sẵn. Xem math.mcmaster.ca/peter/s743/poissonalpha.html cho hai người trong số họ cùng với phân tích về phạm vi bảo hiểm thực tế của họ. (Ở đây, khoảng "chính xác" là (45,7575, 48,692), khoảng "Pearson" là (45,7683, 48,639) và xấp xỉ Bình thường cho (45,7467, 48,617): nó hơi thấp, nhưng đủ gần, bởi vì

n λ

$n \lambda$

n λ = 4152

$n \lambda = 4152$

— 4152.

4

Đối với những người khác bối rối như tôi: đây là một mô tả về nơi 1.96 đến từ.

— mjibson

2

Làm thế nào bạn tính toán khoảng thời gian chính xác cho vấn đề này được cung cấp thông tin trên trang web đó được cung cấp bởi whuber? Tôi không thể theo dõi vì trang web đó dường như chỉ cho biết cách tiến hành khi bạn có một mẫu. Có thể tôi chỉ không hiểu điều gì đó đơn giản nhưng phân phối của tôi có giá trị lambda (n) nhỏ hơn nhiều nên tôi không thể sử dụng xấp xỉ bình thường và tôi không biết cách tính giá trị chính xác. Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng. Cảm ơn!

Ở đây họ đang sử dụng độ lệch chuẩn của giá trị trung bình phải không? Đó là , SE = sig/sqrt(N) = sqrt(lam/N)? Điều này sẽ có ý nghĩa vì độ lệch chuẩn của các giá trị đơn sigcho chúng tôi biết về khả năng vẽ các mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Poisson, trong khi SEnhư được xác định ở trên cho chúng tôi biết về sự tin cậy của chúng tôi lam, với số lượng mẫu chúng tôi đã sử dụng để ước tính.

— AlexG

17

Bài viết này thảo luận về 19 cách khác nhau để tính khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của phân phối Poisson.

http://www.ine.pt/revstat/pdf/rs120203.pdf

— Tom
nguồn

2

Mặc dù có thông báo của mod ở đây, tôi vẫn thích câu trả lời này, bởi vì nó chỉ ra rằng có ít hơn sự đồng thuận chung về cách đánh giá một hệ thống Poisson đo được.

— Carl Witthoft

7

Ngoài các câu trả lời mà người khác đã cung cấp, một cách tiếp cận khác cho vấn đề này đạt được thông qua cách tiếp cận dựa trên mô hình. Cách tiếp cận định lý giới hạn trung tâm chắc chắn là hợp lệ và các ước tính bootstrapping cung cấp rất nhiều sự bảo vệ khỏi các vấn đề sai chính tả mẫu và chế độ nhỏ.

Đối với hiệu quả tuyệt đối, bạn có thể có được một khoảng tin cậy tốt hơn cho bằng cách sử dụng một cách tiếp cận dựa trên mô hình hồi quy. Không cần phải đi qua đạo hàm, nhưng một phép tính đơn giản trong R diễn ra như sau: $\lambda$

x <- rpois(100, 14)
exp(confint(glm(x ~ 1, family=poisson)))

Đây là một ước tính khoảng không đối xứng, làm phiền bạn, vì tham số tự nhiên của glm poisson là tỷ lệ tương đối nhật ký! Đây là một lợi thế vì có xu hướng dữ liệu đếm bị lệch sang phải.

Cách tiếp cận trên có một công thức và đó là:

\exp (\log \hat{λ} \pm \sqrt{\frac{1}{n \hat{λ}}})

$\exp\left( \log \hat{\lambda} \pm \sqrt{\frac{1}{n\hat{\lambda} }}\right)$

Khoảng tin cậy này là "hiệu quả" theo nghĩa là xuất phát từ ước tính khả năng tối đa trên thang đo tham số tự nhiên (log) cho dữ liệu Poisson và cung cấp khoảng tin cậy chặt chẽ hơn so với thang đo dựa trên thang đo đếm trong khi duy trì mức độ bao phủ danh nghĩa 95% .

— Adam
nguồn

+1 Tôi nghĩ rằng tôi sẽ sử dụng một tính từ khác với hiệu quả mặc dù (hoặc rõ ràng hơn bạn có nghĩa là hiệu quả tính toán hoặc mã golf). Nhận xét của người chỉ ra một tài nguyên đưa ra các khoảng chính xác và cách tiếp cận glm cũng dựa trên kết quả tiệm cận. (Mặc dù nó tổng quát hơn, vì vậy tôi cũng muốn giới thiệu cách tiếp cận đó.)

— Andy W

μ

$\mu$

1

Thẩm quyền của bạn cho công thức đó là gì. Chúng ta có thể có một trích dẫn?

— pauljohn32

@AndyW: liên kết của bạn không hợp lệ cho mô phỏng nhanh

— pauljohn32

1

@ pauljohn32 kiểm tra văn bản của Casella Berger đặc biệt là về gia đình hàm mũ, tỷ lệ nhật ký là tham số tự nhiên.

— AdamO

5

Đưa ra một quan sát từ một phân phối Poisson ,

số lượng các sự kiện được tính là n.
$\lambda$ $\sigma^2$

Từng bước một,

$\hat \lambda = n \approx \lambda$
$n \gt 20$ $\sigma$

S t d e r r = = σ = = \sqrt{λ} \approx \sqrt{n}

$stderr = \sigma = \sqrt{\lambda} \approx \sqrt{n}$

Bây giờ, khoảng tin cậy 95% là,

tôi = = \hat{λ} \pm 1,96 S t d e r r = = n \pm 1,96 \sqrt{n}

$I = \hat \lambda \pm 1.96 \space stderr = n \pm 1.96 \space \sqrt{n}$

[Đã chỉnh sửa] Một số tính toán dựa trên dữ liệu câu hỏi,

$\lambda$

Tôi đang đưa ra giả định này vì câu hỏi ban đầu không cung cấp bất kỳ bối cảnh nào về thử nghiệm hoặc cách thu thập dữ liệu (điều này có tầm quan trọng nhất khi thao tác dữ liệu thống kê).
Khoảng tin cậy 95% là, trong trường hợp cụ thể,

tôi = = λ \pm 1,96 S t d e r r = = λ \pm 1,96 \sqrt{λ} = = 47.18182 \pm 1,96 \sqrt{47.18182} \approx [33,72, 60,64]

$I = \lambda \pm 1.96 \space stderr = \lambda \pm 1.96 \space \sqrt{\lambda} = 47.18182 \pm 1.96 \space \sqrt{47.18182} \approx [33.72, 60.64]$

Do đó, vì phép đo (n = 88 sự kiện) nằm ngoài khoảng tin cậy 95%, chúng tôi kết luận rằng,

Quá trình không tuân theo quy trình Poisson, hoặc,
$\lambda$

$\sqrt{\lambda/n}$

— jose.each.jimenez
nguồn

1

λ

$\lambda$

n \approx λ

$n\approx\lambda$

2

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

2

Tôi tin rằng câu trả lời của jose.angel.jiminez ở trên là không chính xác và phát sinh từ việc đọc sai câu hỏi ban đầu. Áp phích ban đầu ghi "Quan sát (n) = 88" - đây là số lượng khoảng thời gian được quan sát, không phải số lượng sự kiện được quan sát tổng thể, hoặc mỗi khoảng. Số lượng sự kiện trung bình trên mỗi khoảng, trên mẫu của 88 khoảng thời gian quan sát, là lambda được đưa ra bởi người đăng ban đầu. (Tôi đã bao gồm điều này như một bình luận cho bài đăng của Jose, nhưng còn quá mới để trang web được phép bình luận.)

— user44436 20/03/2015

@ user44436 đã thêm một câu trả lời được cho là nhận xét. Tôi đăng lại dưới dạng nhận xét để bạn có thể xem và vì không trả lời nên có thể bị xóa: ------- Tôi tin rằng phản hồi của jose ở trên là không chính xác và phát sinh từ việc đọc sai câu hỏi ban đầu. Áp phích ban đầu nêu Quan sát (n) = 88 - đây là số lượng khoảng thời gian được quan sát, không phải số lượng sự kiện được quan sát tổng thể hoặc mỗi khoảng thời gian. Số lượng sự kiện trung bình trên mỗi khoảng trên mẫu của 88 khoảng thời gian quan sát là lambda được đưa ra bởi người đăng ban đầu.

— Mörre 11/05/2015