Phân phối tỷ lệ đồng phục: Điều gì là sai?

Giả sử và là hai biến ngẫu nhiên đồng nhất iid trên khoảng $X$ $Y$ $[0,1]$

Đặt , tôi đang tìm cdf của , tức là . $Z=X/Y$ $Z$ $\Pr(Z\leq z)$

Bây giờ, tôi đã đưa ra hai cách để làm điều này. Một câu trả lời đúng phù hợp với pdf ở đây: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , còn lại thì không. Tại sao phương pháp thứ hai sai?

Phương pháp đầu tiên

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Điều này xuất hiện chính xác.

Phương pháp thứ hai

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ theo tổng xác suất

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Lấy sản lượng $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Điều này đã khác. Tại sao điều này là sai?

Cảm ơn!

— Junier
nguồn

Đây là một gợi ý .

Xem xét cẩn thận thuật ngữ . Cụ thể, để cụ thể, chọn , để chúng tôi xem xét sự kiện . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Bây giờ, hãy nhìn vào bức tranh này (liên quan rất chặt chẽ đến xác suất trên).

Biểu đồ xác suất có điều kiện cho tỷ lệ đồng phục

Bây giờ, xác suất có điều kiện đó phụ thuộc vào sự lựa chọn cụ thể của chúng tôi về ? $z$

— hồng y
nguồn

Tôi đoán mô tả chính thức hơn của hình ảnh là: Đặt chúng ta có thể thấy rằng pdf cho là nên Nhưng tôi vẫn không hiểu tại sao thiết lập tích phân như tôi đã làm trước đây không hoạt động. Ngay cả khi giá trị của z không có vai trò thực sự, tại sao việc đặt giới hạn tích phân của x thành zy và sau đó đặt giới hạn tích phân của y thành 1 / z không khắc phục điều này?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, ok tôi nghĩ có lẽ tôi đã nhận nó. Vì vậy, chúng ta sẽ có vùng được ký hợp đồng này {(x, y): y <1 / z} trên ô vuông đơn vị, sau đó chúng ta sẽ mở rộng chính vùng đó theo z nên {(x, y): y <z / z}. Tức là tất cả các đơn vị vuông một lần nữa. Vùng có x <y là 1/2. Nhưng làm thế nào để chúng ta chính thức hóa trực giác này một cách toán học; tức là theo hợp đồng này, mở rộng lộ trình chính thức? Và một số lời khuyên để tránh những loại sai lầm là gì?

— Junier

@Junier Vẽ một bức tranh thường giúp :-).

— whuber

+1 @whuber. Khi nghi ngờ, hãy vẽ một bức tranh. Điều này dường như luôn luôn làm rõ vấn đề tôi đang gặp phải.

— Fomite

Nó phụ thuộc vào cách chính thức bạn muốn chính thức hóa toán học này. Lưu ý đầu tiên rằng là xác suất chung , không phải xác suất có điều kiện mà bạn đang cố tính toán. Đây là một lỗi khá phổ biến. Lưu ý rằng chia những gì bạn có cho phục hồi câu trả lời đúng. (Đây chỉ là quy tắc của Bayes.)

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— hồng y