Phân phối nhị thức có phương sai nhỏ nhất có thể có trong số tất cả các bản phân phối hợp lý của YouTube có thể mô hình hóa các cuộc bầu cử nhị phân không?


8

Hãy tưởng tượng một cuộc bầu cử trong đó người đưa ra lựa chọn nhị phân: họ bỏ phiếu cho A hoặc chống lại nó. Kết quả là m người bỏ phiếu cho A, và vì vậy kết quả của A là p = m / n .nmp= =m/n

Nếu tôi muốn mô hình hóa các cuộc bầu cử này, tôi có thể giả sử rằng mỗi người bỏ phiếu cho A một cách độc lập với xác suất , dẫn đến phân phối phiếu nhị thức: phiếu bầu cho A B i n o m ( n , p ) . Phân phối này có nghĩa là m = n p và phương sai n p ( 1 - p ) .p

phiếu bầu cho A~BTôinom(n,p).
m= =npnp(1-p)

Tôi có thể đưa ra các giả định khác là tốt. Ví dụ, tôi có thể giả sử rằng xác suất tự nó là một biến ngẫu nhiên đến từ một số phân phối (ví dụ: beta); điều này có thể dẫn đến phân phối phiếu nhị phân beta cho A. Hoặc tôi có thể giả sử rằng mọi người bỏ phiếu theo nhóm k , trong đó mỗi nhóm k người đưa ra lựa chọn giống nhau và đó là A với xác suất p . Điều này sẽ dẫn đến một phân phối nhị thức với phương sai lớn hơn. Trong tất cả các trường hợp này, phương sai của phân phối kết quả lớn hơn trong sơ đồ nhị thức đơn giản nhất.pkkp

Tôi có thể đưa ra yêu cầu rằng phân phối nhị thức có phương sai nhỏ nhất có thể không? Nói cách khác, yêu cầu này có thể được thực hiện chính xác bằng cách nào đó, ví dụ bằng cách chỉ định một số điều kiện hợp lý trên các bản phân phối có thể? Những điều kiện này sẽ là gì?

Hoặc có thể có một số phân phối hợp lý có phương sai thấp hơn?

Tôi có thể tưởng tượng phương sai thấp hơn, ví dụ khi tất cả người đồng ý trước về cách họ sẽ bỏ phiếu và vì vậy phiếu bầu cho A không thực sự là một biến ngẫu nhiên, mà là một số cố định m . Khi đó phương sai bằng không. Hoặc có lẽ hầu hết tất cả đều đồng ý nhưng một vài người thì không, và sau đó người ta có thể có phương sai nhỏ xung quanh m . Nhưng điều này cảm thấy như gian lận. Một người có thể có phương sai nhị phân nhỏ hơn mà không có bất kỳ sự sắp xếp nào, tức là khi mỗi người bỏ phiếu theo một nghĩa nào đó một cách ngẫu nhiên?nphiếu bầu cho Amm



2
Phân phối nhị thức poisson có phương sai tối đa khi tất cả p_i giống nhau (nghĩa là khi giảm thành nhị thức) cho trung bình cố định và n. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution
seanv507

2
@ seanv507 Cảm ơn bạn, vâng. Tôi đã nhận ra điều này vào năm 2015, xem bình luận của tôi dưới câu trả lời của người bán hàng. Nhưng nếu bạn muốn đăng bài này như một câu trả lời (giải thích chi tiết về nhị phân Poisson), tôi sẽ rất vui khi được nâng cấp.
amip

Câu trả lời:


9

Không .

Giả sử các cử tri bao gồm cặp kết hôn. Các ông chồng kết hợp với nhau và quyết định bỏ phiếu chống lại vợ mình, những người mà họ chọn ngẫu nhiên. Kết quả luôn là k phiếu bầu cho mỗi ứng cử viên, với phương sai bằng không.n= =2kk

Bạn có thể khóc dở mếu dở vì các ông chồng không bầu ngẫu nhiên. Chà, họ là thế - họ tình cờ bị trói chặt với số phiếu ngẫu nhiên của vợ. Nếu điều đó làm phiền bạn, hãy thay đổi mọi thứ một chút bằng cách mỗi người chồng lật mười đồng xu công bằng. Nếu cả mười người đều là người đứng đầu, anh ta sẽ bỏ phiếu với vợ; nếu không thì anh ta bỏ phiếu chống lại cô. Bạn có thể kiểm tra xem kết quả bầu cử vẫn có phương sai nhỏ (mặc dù không khác biệt), mặc dù mọi phiếu bầu đều không thể đoán trước.

Mấu chốt của vấn đề nằm ở hiệp phương sai giữa hai khối bỏ phiếu, nam và nữ.


2
pTôipΣpTôinppTôi= =p

2
Chắc chắn: có rất nhiều cách để đạt được sự phân tán dưới mức (như tôi thấy bạn muộn màng nhận ra!). Tôi chỉ nghĩ rằng ví dụ vợ-chồng này là đủ rõ ràng, thú vị và đáng nhớ để đáng viết ra. Bởi vì nó đã trả lời cho một câu trả lời, sẽ không thích hợp để chôn nó trong một bình luận (đó là cách nó bắt đầu cuộc sống).
whuber
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.