Đo lường hiệu quả của từng người chơi trong 2 môn thể thao cho mỗi đội

Tôi đã có một bảng tính của một số điểm nhóm. Đội đầu tiên giành được 10 điểm. Có 2 người chơi trên mỗi đội. Các cầu thủ chơi với các đồng đội khác nhau mọi lúc, mặc dù họ không được chọn hoàn toàn ngẫu nhiên. Không có điểm số cá nhân được giữ.

Vì vậy, về cơ bản, chúng ta có Bill và Bob đánh bại Andy và Alice 10-4 Jake và Bill đánh Joe và John 10-8 ...

Có thể đưa ra một số xếp hạng cho từng người chơi, dựa trên tất cả các dữ liệu phù hợp có sẵn. Về cơ bản, để xem mỗi người chơi đóng góp bao nhiêu cho mỗi trò chơi về điểm hoặc liên quan đến những người chơi khác?

Dưới đây là một vài mô hình rất đơn giản . Cả hai đều thiếu ít nhất một cách, nhưng có lẽ họ sẽ cung cấp một cái gì đó để xây dựng. Mô hình thứ hai thực sự không (hoàn toàn) giải quyết được kịch bản của OP (xem các nhận xét bên dưới), nhưng tôi sẽ để nó trong trường hợp nó giúp theo một cách nào đó.

Mô hình 1 : Một biến thể của mô hình Bradley trinh Terry

Giả sử chúng ta chủ yếu quan tâm đến việc dự đoán liệu một đội sẽ đánh bại một đội khác dựa trên những người chơi trên mỗi đội. Chúng tôi chỉ có thể ghi lại xem Đội 1 có người chơi đánh bại Đội 2 với người chơi cho mỗi trò chơi hay không, bỏ qua điểm số cuối cùng. Chắc chắn, điều này đang vứt bỏ một số thông tin, nhưng trong nhiều trường hợp, điều này vẫn cung cấp rất nhiều thông tin.( k , ℓ $(i,j)$$(k,\ell)$

Mô hình sau đó là

$$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2})) = \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k - \alpha_\ell \> .$$

Đó là, chúng tôi có một tham số "ái lực" cho mỗi người chơi ảnh hưởng đến mức độ người chơi đó cải thiện cơ hội chiến thắng của đội mình. Xác định "sức mạnh" của người chơi bằng . Sau đó, mô hình này khẳng định rằng P ( Đội 1 đập Đội 2 ) = s i s $s_i = e^{\alpha_i}$

$$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2}) = \frac{s_i s_j}{s_i s_j + s_k s_\ell} \>.$$

Có một sự đối xứng rất hay ở đây là nó không quan trọng bằng cách nào phản hồi được mã hóa miễn là nó phù hợp với các yếu tố dự đoán. Đó là, chúng tôi cũng có

$$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 2 beats Team 1})) = \alpha_k + \alpha_\ell - \alpha_i - \alpha_j \> .$$

Điều này có thể dễ dàng phù hợp như một hồi quy logistic với các yếu tố dự đoán là các chỉ số (một cho mỗi người chơi) lấy giá trị nếu người chơi ở Đội 1 trong trò chơi, nếu cô ấy ở Đội 2 và nếu cô ấy không tham gia vào trò chơi đói - 1 $+1$$i$$-1$$0$

Từ đó chúng tôi cũng có một thứ hạng tự nhiên cho các cầu thủ. Càng lớn (hoặc ), càng lớn các cầu thủ cải thiện cơ hội đội mình chiến thắng. Vì vậy, chúng tôi chỉ đơn giản có thể xếp hạng người chơi theo hệ số ước tính của họ. (Lưu ý rằng các tham số ái lực chỉ có thể nhận dạng theo mức bù chung. Do đó, thông thường là sửa để làm cho mô hình có thể nhận dạng được.)s α 1 = $\alpha$$s$$\alpha_1 = 0$

Mô hình 2 : Ghi điểm độc lập

Lưu ý : Sau khi đọc lại câu hỏi của OP, rõ ràng các mô hình bên dưới không đủ để thiết lập. Cụ thể, OP quan tâm đến một trò chơi kết thúc sau khi số điểm cố định được ghi bởi đội này hoặc đội kia. Các mô hình dưới đây phù hợp hơn cho các trò chơi có thời lượng cố định. Sửa đổi có thể được thực hiện để phù hợp hơn trong khuôn khổ của OP, nhưng nó sẽ cần một câu trả lời riêng để phát triển.

Bây giờ chúng tôi muốn theo dõi điểm số. Giả sử đó là một xấp xỉ hợp lý rằng mỗi đội ghi điểm độc lập với nhau với số điểm được ghi trong bất kỳ khoảng thời gian nào độc lập với bất kỳ khoảng thời gian rời rạc nào. Sau đó, số điểm mỗi điểm của đội có thể được mô hình thành một biến ngẫu nhiên Poisson.

Do đó, chúng tôi có thể thiết lập Poisson GLM sao cho điểm của một số đội bao gồm người chơi và trong một trò chơi cụ thể là j đăng nhập ( μ ) = γ i + γ $i$$j$

$$\log(\mu) = \gamma_i + \gamma_j$$

Lưu ý rằng mô hình này bỏ qua các trận đấu thực tế giữa các đội, tập trung hoàn toàn vào việc ghi bàn.

Nó không có một kết nối thú vị để các biến đổi mô hình Bradley-Terry. Xác định và giả sử rằng trò chơi "đột tử" được chơi trong đó đội đầu tiên ghi được chiến thắng. Nếu Đội 1 có người chơi và Đội 2 có người chơi , thì Do đó, tỷ lệ ghi điểm trung bình của người chơi tương đương với công thức tham số "sức mạnh" của Mô hình 1.$\sigma_i = e^{\gamma_i}$$(i,j)$$(k,\ell)$

$$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2 in sudden death}) = \frac{\sigma_i \sigma_j}{\sigma_i \sigma_j + \sigma_k \sigma_\ell} \>.$$

Chúng tôi có thể xem xét làm cho mô hình này phức tạp hơn bằng cách có ái lực "phạm tội" và "phòng thủ" ái lực cho mỗi người chơi, sao cho nếu Đội 1 với chơi Đội 2 với , sau đó và $\rho_i$$\delta_i$$(i,j)$$(k,\ell)$

$$\log(\mu_1) = \rho_i + \rho_j - \delta_k - \delta_{\ell}$$ $$\log(\mu_2) = \rho_k + \rho_{\ell} - \delta_i - \delta_j$$

Ghi điểm vẫn độc lập trong mô hình này, nhưng bây giờ có sự tương tác giữa các cầu thủ trên mỗi đội ảnh hưởng đến điểm số. Người chơi cũng có thể được xếp hạng theo ước tính hệ số ái lực của họ.

Mô hình 2 (và các biến thể của nó) cũng cho phép dự đoán điểm số cuối cùng.

Tiện ích mở rộng : Một cách hữu ích để mở rộng cả hai mô hình là kết hợp một đơn đặt hàng trong đó các chỉ số tích cực tương ứng với nhóm "nhà" và các chỉ báo tiêu cực cho nhóm "đi". Việc thêm một thuật ngữ chặn vào các mô hình sau đó có thể được hiểu là "lợi thế sân nhà". Các tiện ích mở rộng khác có thể bao gồm kết hợp cơ hội quan hệ trong Mô hình 1 (thực tế nó đã có khả năng trong Mô hình 2).

Lưu ý bên lề : Ít nhất một trong các cuộc thăm dò trên máy vi tính ( Peter Wolfe ) được sử dụng cho Giải vô địch bóng chuyền trong bóng đá đại học Mỹ sử dụng mô hình Bradley hay Terry (tiêu chuẩn) để tạo ra thứ hạng của nó.

Thuật toán TrueSkill của Microsoft , được sử dụng để xếp hạng người chơi trên XBox Live, có thể xử lý các trận đấu nhóm, nhưng không kết hợp với chiến thắng. Nó vẫn có thể được sử dụng cho bạn.

Vâng.

Bạn có thể nhìn vào từng kỷ lục thắng / thua của người chơi và chênh lệch điểm. Tôi nhận ra đó là một câu trả lời đơn giản, nhưng, những số liệu thống kê đó vẫn sẽ có ý nghĩa.

(Tôi muốn thêm điều này như một nhận xét cho câu trả lời trước đó, nhưng danh tiếng của tôi là không đủ, trong thời điểm hiện tại)

Martin O'Leary đã liên kết thuật toán TrueSkill và đó là một lựa chọn tốt. Nếu bạn đang quan tâm đến việc sử dụng (hơn trong việc phát triển), bạn nên cung cấp cho một cố gắng để rankade , hệ thống xếp hạng của chúng tôi. Giống như TrueSkill, nó có thể quản lý hai phe với nhiều hơn một người chơi mỗi người (bóng bàn 2-vs-2, bóng bàn 2-vs-2, bóng rổ 3 trên 3 và 5 trên 5, v.v.). Một số khác biệt đáng chú ý, trong số những thứ khác, đó là xếp hạng cho phép xây dựng các phe phái có cấu trúc hơn (1 vs vs 1, phe đối lập với phe, nhiều người chơi, đa nhiệm, trò chơi hợp tác, phe bất đối xứng, v.v.) và nó được sử dụng miễn phí.

Đây là một so sánh giữa hầu hết các hệ thống xếp hạng được biết đến.