Tại sao phương sai của mẫu thay đổi nếu các quan sát được nhân đôi?

Phương sai được cho là một biện pháp lây lan. Vì vậy, tôi đã nghĩ rằng phương sai của 3,5bằng với phương sai 3,3,5,5vì các số này trải đều như nhau. Nhưng đây không phải là trường hợp, phương sai 3,5là 2trong khi phương sai 3,3,5,5là 1 1/3.

Điều này đánh đố tôi, đưa ra lời giải thích rằng phương sai được cho là một biện pháp lây lan.

Vì vậy, trong bối cảnh đó, biện pháp lây lan có ý nghĩa gì?

Nếu bạn xác định phương sai là - tương tự như phương sai dân số nhưng với mẫu có nghĩa là , thì cả hai mẫu của bạn sẽ có cùng phương sai.$s^2_{n}=$$\,\text{MSE}\,$$=\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$$\mu$

Vì vậy, sự khác biệt hoàn toàn là do hiệu chỉnh của Bessel trong công thức thông thường cho phương sai mẫu ( , điều chỉnh cho thực tế là giá trị trung bình của mẫu gần với dữ liệu hơn so với trung bình dân số, để làm cho nó không thiên vị (lấy giá trị trung bình "trung bình").$s^2_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot \text{MSE}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

Hiệu ứng dần dần biến mất khi tăng kích thước mẫu, vì chuyển sang 1 dưới dạng .$\frac{n-1}{n}$$n\to\infty$

Nhân tiện, không có lý do cụ thể nào mà bạn phải sử dụng công cụ ước lượng không thiên vị cho phương sai, bằng cách này - là một công cụ ước tính hoàn toàn hợp lệ và trong một số trường hợp có thể cho rằng có những lợi thế so với hình thức phổ biến hơn (tính không thiên vị không nhất thiết phải lớn thỏa thuận).$s^2_n$

Phương sai chính nó không trực tiếp là một biện pháp lây lan. Nếu tôi nhân đôi tất cả các giá trị trong tập dữ liệu của mình, tôi cho rằng chúng gấp đôi "lây lan". Nhưng phương sai tăng theo hệ số 4. Vì vậy, thông thường hơn, người ta nói rằng độ lệch chuẩn, thay vì phương sai là một biện pháp lây lan.

Tất nhiên, vấn đề tương tự xảy ra với độ lệch chuẩn ( phiên bản thông thường ) như với phương sai - khi bạn nhân đôi số điểm, độ lệch chuẩn thay đổi, với cùng lý do xảy ra với phương sai.$s_{n-1}$

Trong các mẫu nhỏ, hiệu chỉnh Bessel làm cho độ lệch chuẩn có phần ít trực quan hơn như là một biện pháp lan truyền vì hiệu ứng đó (việc sao chép mẫu làm thay đổi giá trị). Nhưng nhiều biện pháp lây lan vẫn giữ nguyên giá trị khi nhân đôi mẫu; Tôi sẽ đề cập đến một vài -

• $s_n$ (tất nhiên)

• độ lệch trung bình (tuyệt đối) so với giá trị trung bình

• độ lệch trung bình (tuyệt đối) so với trung vị

• phạm vi liên vùng (ít nhất là đối với một số định nghĩa về tứ phân vị mẫu)

Như một số loại ghi nhớ, . Vì vậy, giá trị dự kiến ​​của phương sai của mẫu quá thấp, với sự khác biệt là phương sai của giá trị trung bình của mẫu.$V\,X = E\,V\,X + V\,E\,X$

Công thức phương sai mẫu thông thường bù cho điều đó và phương sai của thang đo trung bình của mẫu đối nghịch với kích thước mẫu.

Như một ví dụ cực đoan, lấy một mẫu duy nhất sẽ luôn hiển thị phương sai mẫu là 0, rõ ràng không biểu thị phương sai bằng 0 cho phân phối cơ bản.

Bây giờ đối với các mẫu có trọng số 2 và 4, các hệ số hiệu chỉnh lần lượt là và . Vì vậy, phương sai dự kiến ​​được tính toán của bạn khác nhau theo hệ số . Phương sai của mẫu là trong cả hai trường hợp. Nhưng trường hợp đầu tiên trình bày trường hợp yếu hơn cho là giá trị trung bình của phân phối cơ sở và mọi giá trị khác sẽ có nghĩa là phương sai lớn hơn.4 / 3 2 / 3 1 $2/1$$4/3$$2/3$$1$$4$