Vui lòng cung cấp bằng chứng rằng là lồi∀x>0. Ở đây,φvàΦlà tiêu chuẩn bình thường PDF và CDF, tương ứng.$Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$$\forall x>0$$\phi$$\mathbf{\Phi}$

BƯỚC TRIED

1) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

Tôi đã thử phương pháp tính toán và có một công thức cho đạo hàm thứ hai, nhưng không thể chỉ ra rằng nó là dương . Xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn cần thêm chi tiết.$\forall x > 0$

Cuối cùng, ∂Q(x

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ Q ( x $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ 2 Q(x $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ Lết, K(x)=2Φ3(x)+2xφ3(x)+Φ2(x)φ(x)x[x2-3]+φ2(x)Φ(x)[3x2-2] $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ Đối vớix≥ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ . Đối vớix∈ ( 0,$x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$, K ′ ( x $x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) PHƯƠNG PHÁP HÌNH ẢNH / SỐ

Tôi cũng có thể thấy điều này bằng số và trực quan bằng cách vẽ đồ thị như hình bên dưới; nhưng nó sẽ hữu ích để có một bằng chứng thích hợp.

$Q$$x \ge 0$$\Phi$$\phi$

Theo định nghĩa,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

Áp dụng kết quả này cho sản lượng phái sinh khác

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

Sử dụng các kết quả này, cùng với các quy tắc phân biệt thương hiệu và sản phẩm thông thường, chúng tôi thấy tử số của đạo hàm thứ hai là tổng của sáu số hạng. (Kết quả này thu được vào khoảng giữa câu hỏi.) Thật thuận tiện khi sắp xếp các thuật ngữ thành ba nhóm:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

$\phi$$\Phi$$x\ge 0$

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

Có nhiều cách để cho thấy yếu tố này không thể là tiêu cực. Một là lưu ý rằng

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

Khác biệt hóa - sử dụng các kỹ thuật đơn giản như trước đây - mang lại

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

$x\ge 0$$R(x)$$[0, \infty)$$R(0) \gt 0$$R(x)\gt 0$$x \ge 0$

$Q$$x \ge 0$