Khả năng 10000: 1 xác suất xảy ra chính xác một lần trong 10.000 lần thử

Tôi quan tâm đến việc tìm hiểu sự khác biệt giữa "khả năng" của một sự kiện ngẫu nhiên với một xác suất cụ thể thực sự xảy ra xác suất chính xác mà nó được cho là có khả năng. tức là nếu một sự kiện có xác suất 1 trên 10000, thì khả năng trong 10000 thử nghiệm sẽ xảy ra đúng 1 lần, không phải 2 lần, không phải 0 lần, không phải 3 lần, v.v. và cách thể hiện (và tính đến) Độ lệch?

Nếu một sự kiện có xác suất 1: 10.000, do đó, trong 100.000 thử nghiệm, nó sẽ có khả năng xảy ra 10 lần; trong 1.000.000 thử nghiệm, nó có thể xảy ra 100 lần, nhưng cũng không xảy ra ở bất kỳ thử nghiệm nào trong 1.000.000 thử nghiệm bất kỳ số lần nào, ví dụ: 98 lần, 99 lần, 101 lần, 96 lần lần, 102 lần, v.v.

Nói theo thống kê có bao nhiêu thử nghiệm phải được tính trung bình và được tính để đạt được sự chắc chắn về mặt thống kê rằng một kết quả cụ thể thực sự là 1: 10000, chứ không phải 1: 9999 hay 1: 10001 hay 1: 10000.5, v.v.?

1 trong 10000 xác suất, là những gì khả năng khả năng rằng trong 10000 thử nghiệm nó sẽ xảy ra đúng 1 lần

, càng gần càng không có tỷ lệ cược. (Xác suất xảy ra chính xác 0 lần là gần như chính xác.)$1/e\approx 0.3679$

Chỉnh sửa: Như Mark L Stone hoàn toàn chỉ ra, tôi đã đặt câu hỏi của bạn là ngụ ý các thử nghiệm là độc lập mà không xác định rằng đó là trường hợp. Đây là một giả định quan trọng (và có thể không hợp lý trong nhiều tình huống). Tuy nhiên, tôi sẽ tiếp tục trả lời trên cơ sở đó, bởi vì tôi tiếp tục nghĩ rằng đó là ý định của bạn.

$n$$1/n$$n$

$n$$n$

Nếu một sự kiện có xác suất 1: 10.000, do đó, trong 100.000 thử nghiệm, nó sẽ có khả năng xảy ra 10 lần; trong 1.000.000 thử nghiệm, nó có thể xảy ra 100 lần, nhưng cũng không xảy ra ở bất kỳ thử nghiệm nào trong 1.000.000 thử nghiệm bất kỳ số lần nào, ví dụ: 98 lần, 99 lần, 101 lần, 96 lần lần, 102 lần, v.v.

Không hoàn toàn: 99 và 100 có cùng cơ hội, nhưng mọi thứ khác có cơ hội thấp hơn:

(xác suất tiếp tục đi xuống khi bạn di chuyển ra ngoài).

$n=1000000$$p=1/10000$

$n$$p$$\lambda=np=100$

có bao nhiêu thử nghiệm phải được tính trung bình và được tính để đạt được sự chắc chắn về mặt thống kê rằng một kết quả cụ thể thực sự là 1: 10000, chứ không phải 1: 9999 hay 1: 10001

Bạn không thể chắc chắn đó thực sự là 1/10000, vì bạn có thể tùy ý gần với nó nhưng khác với nó.

$n$$np$$\sqrt{np(1-p)}\approx \sqrt{np}$

$p=1/10000$$n=10^{12}$$10^{8}$$10^{4}$$p=1/9999$$100,010,000$$n=4\times 10^{12}$$2$$n=10^{13}$

$10^{13}$$p=1/10000$$1/9999$

$p$$(1/p)^3$$p=1/(k\pm 1)$$1/k$

giả sử sau 10.000.000.000 thử nghiệm, kết quả đã xảy ra 999.982 lần, khi đó bạn sẽ nêu xác suất cho thử nghiệm tiếp theo là 1: 9999.82 hoặc 1: 10000 hoặc một số kết quả được tính toán liên quan đến độ lệch? .. (Hoặc tôi đoán điều tương tự có thể được yêu cầu chỉ sau 1 bộ 10.000 thử nghiệm với độ chính xác thấp hơn nhiều!)

Có, nó có thể được yêu cầu tại 10000 thử nghiệm hoặc 1000 hoặc 100.

Hãy đơn giản hóa mọi thứ và thực hiện 10000 thử nghiệm và 98 thành công. Tất nhiên người ta có thể lấy ước tính điểm về xác suất thành công 98/10000 = 0,0098 nhưng đây thực sự sẽ không phải là tỷ lệ cơ bản, chỉ là ước tính của nó. Nó cũng có thể là 0,944 ... hoặc 0,997 ... hoặc bất kỳ số lượng giá trị nào khác.

Vì vậy, một điều mọi người làm là xây dựng một khoảng các giá trị sẽ (theo một cách nào đó) phù hợp một cách hợp lý với tỷ lệ quan sát được. Có hai triết lý chính của thống kê (thống kê Bayes và thống kê thường xuyên) rằng trong các mẫu lớn thường có xu hướng tạo ra các khoảng tương tự nhưng có cách hiểu khá khác nhau.

$p$

Một khoảng thời gian Bayes điển hình sẽ bắt đầu bằng phân phối trước trên tham số thể hiện sự không chắc chắn của bạn về giá trị của nó và sử dụng dữ liệu để cập nhật kiến ​​thức về phân phối đó và từ đó có được khoảng tin cậy .

Khoảng tin cậy được sử dụng rất rộng rãi (mặc dù một khoảng đáng tin cậy có thể đến gần hơn với mong đợi của bạn về những gì một khoảng nên làm). Trong trường hợp khoảng tin cậy tỷ lệ nhị thức , như ở đây, có nhiều cách tiếp cận khác nhau, mặc dù trong các mẫu lớn, tất cả đều cung cấp cho bạn khá nhiều khoảng cách giống nhau.

với xúc xắc thậm chí 6 x 10 ^ 9 thử nghiệm có thể không cho kết quả chính xác 1 x 10 ^ 9 cho mỗi sáu kết quả

Chính xác; bạn sẽ mong đợi (với xúc xắc công bằng) sẽ nhận được từ 999,94 triệu đến 1000,06 triệu thành công gần như (nhưng không hoàn toàn) mỗi khi bạn thử nó.

Nếu xác suất thực tế là 1: 10000, thì việc tăng các thử nghiệm trong độ lệch dự kiến ​​sẽ có xu hướng xác nhận rằng

Nó gần như sẽ luôn tiếp tục phù hợp với nó (và với một loạt các giá trị khác gần đó). Điều gì xảy ra không phải là bạn có thể nói là 1/10000, mà là khoảng thời gian của các giá trị xác suất phù hợp với kết quả của bạn sẽ ngày càng hẹp hơn khi kích thước mẫu tăng lên.

$p = \frac{1}{n}$$n$

$n$$1 / e ≃ 0.632$$n$

Giải trình:

Giả sử tôi lắc xí ngầu 6 lần. Xác suất nhận được 1ít nhất một lần trong số 6 lần thử đó là:

Xác suất không nhận được '1' cho mỗi lần thử:

$p = \frac{5}{6}$

Xác suất không nhận được bất kỳ "1" nào trong 6 lần thử:

$p = \frac{5}{6}^{6}$

Xác suất nhận được "1" ít nhất một lần trong 6 lần thử:

$p = 1 - \frac{5}{6}^{6} \approx 0.665$

Tương tự, giả sử một sự kiện có xác suất 1/10000. Xác suất của sự kiện này xảy ra ít nhất một lần khi 10000thử là:

$p = 1 - \frac{9999}{10000}^{10000} \approx 0.634$

Chúng tôi có thể ngoại suy điều này cho bất kỳ nvà nhận được:

$p = \frac{1}{n}$$n$

$p = 1 - (\frac{n-1}{n})^{n}$

Và kể từ khi:

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-1}{n}^{n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (1 - \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e} \approx 0.368$

Chúng ta có thể nói về điều đó:

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1 - \frac{n-1}{n}^{n} \approx 0.632$

Vẽ phương trình này trong Gograph , chúng ta có được một cái gì đó như thế này:

Kết luận: mặc dù nó có ý nghĩa hoàn hảo, tôi thực sự khá ngạc nhiên bởi thực tế là xác suất của một sự kiện có xảy ra ít nhất một lần trong số lần thử là gần như độc lập với , vì là nhỏ như rồi. nnn$p = \frac{1}{n}$$n$$n$$n$$3$

Hãy thiết lập vấn đề đơn giản hơn trên súc sắc. Hãy tính xác suất khả năng trên 6 lần ném xúc xắc, điểm sẽ là 1 chính xác một lần.

Có bao nhiêu cách điều này có thể xảy ra [và xác suất tương ứng của chúng]:

1 is scored in first throw but not in any other throws[1/6*5/6*5/6*...] [=3125/46656]
1 is scored in second throw but not in any other throw [5/6*1/6*5/6*...] [=3125/46656]
...
...

vì vậy tổng xác suất mà 1 chỉ được ghi một lần trong 6 lần ném là (3125/46656) * 6 = 3125/7776

Bạn có thể mở rộng phát triển tương tự cho các sự kiện với xác suất 1 / n. Xác suất của sự kiện chỉ xảy ra một lần trong n thử nghiệm sẽ là

((n-1)/n)^(n-1)

Điều này có thể trông hơi quen khi tôi sắp xếp lại:

(1-1/n)^(n-1)

Một phần khác trong câu hỏi của bạn: giảm độ lệch khi số lượng mẫu tăng, đã được giải thích rõ trong câu trả lời khác.