Tại sao CDF của một mẫu được phân phối đồng đều

Tôi đã đọc ở đây đã đưa ra một mẫu từ một bản phân phối liên tục với cdf , mẫu tương ứng với tuân theo phân phối thống nhất tiêu chuẩn. $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

Tôi đã xác minh điều này bằng cách sử dụng các mô phỏng định tính trong Python và tôi có thể dễ dàng xác minh mối quan hệ.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Kết quả trong cốt truyện sau:

Lô đất hiển thị mẫu phân phối bình thường và cdf của mẫu.

Tôi không thể hiểu tại sao điều này xảy ra. Tôi cho rằng nó liên quan đến định nghĩa của CDF và mối quan hệ của nó với PDF, nhưng tôi đang thiếu một cái gì đó ...

Tôi sẽ đánh giá cao nếu ai đó có thể chỉ cho tôi đọc một số chủ đề hoặc giúp tôi có được một số trực giác về chủ đề này.

EDIT: CDF trông như thế này:

CDF của phân phối được lấy mẫu

— Maxime
nguồn

Tính toán cdf của

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Bạn sẽ tìm thấy một bằng chứng về đặc tính này (đối với các rv liên tục) trong bất kỳ cuốn sách nào về mô phỏng vì đây là cơ sở của phương pháp mô phỏng cdf nghịch đảo.

— Tây An

Ngoài ra, hãy thử chuyển đổi tích phân xác suất

— Zachary Blumenfeld

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

@Zhanxiong điều kiện duy nhất cần thiết cho

là càdlàg.

F

$F$

— AdamO

Câu trả lời:

Giả sử liên tục và tăng dần. Xác định và lưu ý rằng nhận các giá trị trong . Khi đó $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = = P (F_{X} (X) \leq x) = = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

Mặt khác, nếu là một biến ngẫu nhiên thống nhất mà có giá trị trong , $U$ $[0, 1]$

F_{Bạn} (x) = = \int_{R} f_{Bạn} (bạn) d bạn = = \int_{0}^{x} d bạn = = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
nguồn

Liệu nó có tuân theo Z có phân phối đồng nhất (0, 1) không?

— Thống kê

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— Adam
nguồn

Y = F (X)

$Y = F(X)$