Mô phỏng chuyến tham quan Brownian bằng cầu Brownian?

11

Tôi muốn mô phỏng quá trình tham quan của Brown (một chuyển động Brown được điều hòa luôn luôn dương khi đến tại ). Vì một quá trình du ngoạn của Brown là một cây cầu Brown được tạo điều kiện để luôn luôn tích cực, tôi đã hy vọng mô phỏng chuyển động của một chuyến du ngoạn Brown bằng một cây cầu Brownian. $0 \lt t \lt 1$ $0$ $t=1$

Trong R, tôi đang sử dụng gói thh 'e1017' để mô phỏng quá trình cầu Brownian. Làm thế nào tôi có thể sử dụng quy trình cầu Brownian này để tạo ra một chuyến tham quan Brown?

r gaussian-process brownian

— Vòng quay
nguồn

4

Nó không đủ để mô phỏng giá trị tuyệt đối của một cây cầu nâu?

— Alex R.

1

@AlexR. không [đệm]

— P.Windridge

1

Tuy nhiên, điều đáng làm lại là mặc dù chuyển động Brown có điều kiện tích cực có thể được nhận ra bằng cách phản ánh BM xung quanh nó chạy tối đa, đó là kết quả do Pitman. Một cách khác để nhận ra BM có điều kiện duy trì trạng thái tích cực là giá trị tuyệt đối của BM BM .

— P.Windridge

1

@AlexR. - Tôi đã cập nhật câu trả lời của mình dưới đây để cho thấy rằng ngay cả đối với các bước đi ngẫu nhiên đơn giản, kết quả điều hòa tích cực tạo ra hành vi khác nhau chỉ đơn giản là lấy giá trị tuyệt đối. Đối với các cầu Brownian cụ thể, theo trực giác cho nhỏ , hành vi của giống như (vì ) và BM thỏa mãn luật logarit lặp (vì vậy " " không liên quan đến mức đủ nhỏ . Do đó, giống như một BM được phản ánh cho nhỏ . Điều này có hành vi khá khác với điều kiện duy trì trạng thái tích cực ...

t

$t$

B B_{t}

$BB_t$

| W_{t}

$|W_t$

B B_{t} = W_{t} - t W_{1}

$BB_t = W_t - tW_1$

O_{p} (t)

$O_p(t)$

t

$t$

| B B_{t} |

$|BB_t|$

t

$t$

W_{t}

$W_t$

— P.Windridge

7

Một chuyến tham quan Brown có thể được xây dựng từ một cây cầu bằng cách sử dụng công trình sau của Vervaat: https://projecteuclid.org/doad/pdf_1/euclid.aop/1176995155

Một xấp xỉ nhanh trong R, sử dụng mã BB của @ whuber's, là

n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)

set.seed(17)
dW <- rnorm(n)/sqrt(n)
W <- cumsum(dW)

# plot(times,W,type="l") # original BM

B <- W - times * W[n]   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)

# plot(times,B,type="l")

# Vervaat construction
Bmin <- min(B)
tmin <- which(B == Bmin)
newtimes <- (times[tmin] + times) %% 1
J<-floor(newtimes * n)
BE <- B[J] - Bmin
plot(1:length(BE)/n,BE,type="l")

Đây là một âm mưu khác (từ set.seed (21)). Một quan sát quan trọng với một chuyến tham quan là điều hòa thực sự biểu hiện dưới dạng "lực đẩy" từ 0 và bạn không thể thấy một chuyến du ngoạn đến gần ở bên trong . $0$ $(0,1)$

Bên cạnh: Sự phân bố của các giá trị tuyệt đối của một cầu Brown và tham quan, lạnh là tích cực , là không giống nhau. Theo trực giác, chuyến tham quan bị đẩy lùi khỏi nguồn gốc, bởi vì các đường dẫn Brown đến quá gần nguồn gốc có thể sẽ bị âm ngay sau đó và do đó bị phạt bởi điều kiện. $(|BB_t|)_{0 \le t \le 1}$ $(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

Điều này thậm chí có thể được minh họa bằng một cây cầu đi bộ ngẫu nhiên đơn giản và tham quan trên bước, đó là một sự tương tự rời rạc tự nhiên của BM (và hội tụ đến BM khi các bước trở nên lớn và bạn giải cứu). $6$

Thật vậy, lấy một SRW đối xứng bắt đầu từ . Trước tiên, chúng ta hãy xem xét điều kiện "cầu" và xem điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chỉ lấy giá trị tuyệt đối. Hãy xem xét tất cả các đường dẫn đơn giản có độ dài mà bắt đầu và kết thúc lúc . Số lượng đường dẫn như vậy là . Có trong số này trong đó . Nói cách khác, xác suất cho giá trị tuyệt đối của "cầu nối" SRW của chúng tôi (có điều kiện kết thúc ở ) để có giá trị 0 ở bước là . $0$ $s$ $6$ $0$ ${6 \choose 3} = 20$ $2\times {4 \choose 2} = 12$ $|s_2| = 0$ $0$ $2$ $12/20 = 0.6$

Thứ hai, chúng tôi sẽ xem xét điều kiện "chuyến tham quan". Số đường dẫn đơn giản không âm có độ dài kết thúc bằng là số Catalan . Chính xác trong số các đường dẫn này có . Do đó, xác suất cho "chuyến tham quan" SRW của chúng tôi (có điều kiện duy trì trạng thái tích cực và kết thúc ở mức ) để có giá trị 0 ở bước là . $s$ $6 = 2*3$ $0$ $C_{m=3} = {2m\choose m}/(m+1) = 5$ $2$ $s_2 = 0$ $0$ $2$ $2/5 = 0.4 < 0.6$

Trong trường hợp bạn vẫn nghi ngờ hiện tượng này vẫn tồn tại trong giới hạn, bạn có thể xem xét xác suất cho các cây cầu SRW và các chuyến du ngoạn có chiều dài chạm 0 ở bước . $4n$ $2n$

Đối với chuyến tham quan SRW: chúng tôi có bằng cách sử dụng aysmptotics từ wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki / Catalan_number . Tức là nó giống như .

P (S_{2 n} = 0 | S_{j} \geq 0, j \leq 4 n, S_{4 n} = 0) = C_{n}^{2} / C_{2 n} \sim (4^{2 n} / π n^{3}) / (4^{2 n} / \sqrt{(2 n)^{3} π})

$\mathbb{P}(S_{2n} = 0 | S_{j} \ge 0, j \le 4n, S_{4n} = 0) = C_n^2 / C_{2n} \sim (4^{2n}/\pi n^3)/(4^{2n} / \sqrt{(2n)^3 \pi})$

c n^{- 3 / 2}

$cn^{-3/2}$

Đối với abs (cầu SRW): bằng cách sử dụng các tiệm cận từ wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coffic . Điều này giống như .

P (| S_{2 n} | = 0 | S_{4 n} = 0) = {(\binom{2 n}{n})}^{2} / (\binom{4 n}{2 n}) \sim (4^{n} / \sqrt{π n})^{2} / (4^{2 n} / \sqrt{2 n π})

$\mathbb{P}(|S_{2n}| = 0 | S_{4n} = 0) = {2n \choose n}^2 / {4n \choose 2n} \sim (4^n/\sqrt{\pi n})^2/(4^{2n} / \sqrt{2n\pi})$

c n^{- 1 / 2}

$cn^{-1/2}$

Nói cách khác, xác suất tiệm cận để thấy cầu SRW có điều kiện dương ở gần giữa nhỏ hơn nhiều so với giá trị tuyệt đối của cầu. $0$

Đây là một công trình thay thế dựa trên quy trình Tàu 3D thay vì cầu Brownian. Tôi sử dụng các sự kiện được giải thích trong https://projecteuclid.org/doad/pdf_1/euclid.ejp/1457125524

Tổng quan- 1) Mô phỏng quy trình Tàu 3d. Điều này giống như một BM có điều kiện là tích cực. 2) Áp dụng thay đổi kích thước không gian thời gian thích hợp để có được cầu Bessel 3 (Phương trình (2) trong bài báo). 3) Sử dụng thực tế (lưu ý ngay sau Định lý 1 trong bài viết) rằng một cây cầu Bessel 3 thực sự có phân phối giống như một chuyến tham quan Brown.

Một nhược điểm nhỏ là bạn cần chạy quy trình Bessel khá lâu (T = 100 bên dưới) trên một lưới tương đối tốt để mở rộng không gian / thời gian ở cuối.

## Another construction of Brownian excursion via Bessel processes
set.seed(27092017)
## The Bessel process must run for a long time in order to construct a bridge
T <- 100
n <- 100001
d<-3 # dimension for Bessel process
dW <- matrix(ncol = n, nrow = d, data=rnorm(d*n)/sqrt(n/T))
dW[,1] <- 0
W <- apply(dW, 1, cumsum)
BessD <- apply(W,1,function(x) {sqrt(sum(x^2))})

times <- seq(0, T, length.out=n)
# plot(times,BessD, type="l") # Bessel D process


times01 <- times[times < 1]
rescaletimes <- pmin(times01/(1-times01),T)
# plot(times01,rescaletimes,type="l") # compare rescaled times

# create new time index
rescaletimeindex <- sapply(rescaletimes,function(x){max(which(times<=x))} )

BE <- (1 - times01) * BessD[rescaletimeindex]
plot(times01,BE, type="l")

Đây là đầu ra:

— P.Windridge
nguồn

5

Các Reflection Nguyên tắc khẳng định

nếu đường dẫn của quá trình Wiener đạt giá trị tại thời điểm , thì đường dẫn tiếp theo sau thời gian có cùng phân phối với sự phản ánh của đường dẫn tiếp theo về giá trị $f(t)$ $f(s) = a$ $t = s$ $s$ $a$

Wikipedia , truy cập 26/9/2017.

Theo đó, chúng tôi có thể mô phỏng một cây cầu Brown và phản ánh nó về giá trị chỉ bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của nó. Cầu Brown được mô phỏng bằng cách trừ xu hướng từ điểm bắt đầu đến cuối từ chuyển động Brown chính nó. (Không mất bất kỳ tính tổng quát nào, chúng tôi có thể đo thời gian theo đơn vị tạo Do đó, tại thời điểm chỉ cần trừ khỏi .) $a=0$ $(0,0)$ $(T,B(T))$ $B$ $T=1$ $t$ $B(T)t$ $B(t)$

Quy trình tương tự có thể được áp dụng để hiển thị chuyển động Brown có điều kiện không chỉ khi trở về một giá trị được chỉ định tại thời điểm (giá trị là cho cây cầu), mà còn ở giữa hai giới hạn (nhất thiết phải bao gồm giá trị bắt đầu bằng tại thời điểm và giá trị kết thúc được chỉ định). $T\gt 0$ $0$ $0$ $0$

Chuyển động Brown này bắt đầu và kết thúc với giá trị bằng 0: đó là Cầu Brownian.

Biểu đồ màu đỏ là một chuyến tham quan Brown được phát triển từ cây cầu Brown trước đó: tất cả các giá trị của nó là không âm. Biểu đồ màu xanh đã được phát triển theo cách tương tự bằng cách phản ánh cây cầu Brown giữa các đường chấm chấm mỗi khi nó gặp chúng. Biểu đồ màu xám hiển thị cây cầu Brownian ban đầu.

Các phép tính rất đơn giản và nhanh chóng: chia tập hợp thời gian thành các khoảng nhỏ, tạo ra các mức tăng bình thường được phân phối độc lập cho mỗi khoảng, tích lũy chúng, trừ xu hướng và thực hiện bất kỳ phản xạ nào cần thiết.

Đây là Rmã. Trong đó, Wlà chuyển động Brownian ban đầu, Blà cầu Brownian và B2là chuyến tham quan bị ràng buộc giữa hai giá trị được chỉ định ymin(không dương) và ymax(không âm). Kỹ thuật của nó để thực hiện phản xạ sử dụng %%toán tử mô đun và tối thiểu theo thành phần pmincó thể được quan tâm thực tế.

#
# Brownian bridge in n steps from t=0 to t=1.
#
n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)
target <- 0                        # Constraint at time=1
set.seed(17)
dW <- rnorm(n)
W <- cumsum(dW)
B <- W + times * (target - W[n])   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)
#
# The constrained excursion.
#
ymax <- max(abs(B))/5              # A nice limit for illustration
ymin <- -ymax * 2                  # Another nice limit
yrange2 <- 2*(ymax - ymin)
B2 <- (B - ymin) %% yrange2
B2 <- pmin(B2, yrange2-B2) + ymin

— whuber
nguồn

xin vui lòng bạn có thể chia sẻ mã cho "chuyến tham quan Brown" của bạn (âm mưu màu đỏ). Nhìn bằng mắt, nó trông giống như một loại chuyển động Brown phản xạ bị hạn chế kết thúc ở . Tôi nghĩ rằng điều này có một phân phối khá khác với một chuyến tham quan, trải nghiệm sự đẩy lùi từ nguồn gốc, tức là nhận thức của bạn (màu đỏ) có vẻ khá không điển hình.

0

$0$

— P.Windridge

@ P.Windridge Xin lỗi; Tôi quên mất: chuyến tham quan là thế abs(B). Hãy nhớ rằng, điều này được dự định là một chuyển động Brown có điều kiện trên hai ràng buộc: nó bằng với targettại thời điểm và ở mọi nơi không âm.

1

$1$

— whuber

1

Tôi chưa quên :) Tôi đang nói rằng tôi tin rằng có phân phối khá khác với điều kiện hãy tích cực (tức là một chuyến tham quan) :)

(a b s (B B_{t}))_{0 \leq t \leq 1}

$(abs(BB_t))_{0 \le t \le 1}$

(B B_{t})_{0 \leq t \leq 1}

$(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

— P.Windridge

4

Các bản phân phối là khác nhau, vì vậy tôi bỏ phiếu xin lỗi.

— P.Windridge

2

Bạn có thể sử dụng một phương pháp từ chối: mô phỏng các cây cầu Brown và giữ những cái tích cực. Nó hoạt động.

Nhưng. Nó rất chậm, vì rất nhiều quỹ đạo mẫu bị từ chối. Và "tần số" bạn đặt càng lớn, bạn càng ít có khả năng tìm thấy quỹ đạo.

succeeded <- FALSE
while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)
}
plot(bridge)

Bạn có thể tăng tốc nó để giữ các quỹ đạo tiêu cực là tốt.

while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)||all(bridge<=0)
}
bridge = abs(bridge)
plot(bridge)

— RUser4512
nguồn

2

Vấn đề với phương pháp này là nếu bạn mô phỏng với các bước nhỏ hơn, xác suất một cây cầu nâu bị âm tại một thời điểm nào đó sẽ đến 1 gần đó .

t = 0

$t=0$

— Alex R.

Thật vậy, có một sự từ chối nhỏ;) "Và" tần số "bạn đặt càng lớn, bạn càng ít có khả năng tìm thấy quỹ đạo." ... Tôi chỉ hài lòng một nửa với câu trả lời của mình, nhưng đây là điều duy nhất tôi có thể nghĩ về nếu tôi phải bắt đầu với một cây cầu Brownian. Tìm kiếm (và chờ đợi) cho một câu trả lời tốt hơn!

— RUser4512