OLS so với Poisson GLM với liên kết nhận dạng

Câu hỏi của tôi cho thấy sự hiểu biết kém của tôi về hồi quy Poisson và GLM nói chung. Đây là một số dữ liệu giả để minh họa câu hỏi của tôi:

### some fake data
x=c(1:14)
y=c(0,  1,  2,  3,  1,  4,  9, 18, 23, 31, 20, 25, 37, 45)

Một số chức năng tùy chỉnh để trả về psuedo-R2:

### functions of pseudo-R2

psuR2 <- function(null.dev, model.dev) { 1 - (model.dev / null.dev)}

predR2 <- function(actuals, predicted) { 1 - (sum((actuals - predicted)^2)) / sum((actuals - mean(actuals))^2)}

Phù hợp với bốn mô hình: OLS, Gaussian GLM với liên kết nhận dạng, Poisson GLM với liên kết nhật ký, Poisson GLM với liên kết nhận dạng

#### OLS MODEL
mdl.ols=lm(y~x)
summary(mdl.ols)
pred.ols = predict(mdl.ols)

summary(mdl.ols)$r.squared
predR2(y, pred.ols)

#### GLM MODEL, family=gaussian(link="identity")
mdl.guass <- glm(y~x, family=gaussian(link="identity"), maxit=500)
summary(mdl.guass)
pred.guass = predict(mdl.guass)

psuR2(mdl.guass$null.deviance, mdl.guass$deviance)
predR2(y, pred.guass)

#### GLM MODEL, family=possion (canonical link)
mdl.poi_log <- glm(y~x, family=poisson(link="log"), maxit=500)
summary(mdl.poi_log)
pred.poi_log= exp(predict(mdl.poi_log))  #transform

psuR2(mdl.poi_log$null.deviance, mdl.poi_log$deviance)
predR2(y, pred.poi_log)

#### GLM MODEL, family=poisson((link="identity")
mdl.poi_id <- glm(y~x, family=poisson(link="identity"), start=c(0.5,0.5), maxit=500)
summary(mdl.poi_id)
pred.poi_id = predict(mdl.poi_id)

psuR2(mdl.poi_id$null.deviance, mdl.poi_id$deviance)
predR2(y, pred.poi_id)

Cuối cùng vẽ sơ đồ dự đoán:

#### Plot the Fit
plot(x, y) 
lines(x, pred.ols)
lines(x, pred.guass, col="green")
lines(x,pred.poi_log, col="red")
lines(x,pred.poi_id, col="blue")

Tôi có 2 câu hỏi:

1. Dường như các hệ số và dự đoán được đưa ra từ OLS và Gaussian GLM với liên kết nhận dạng là hoàn toàn giống nhau. Điều này luôn luôn đúng?

2. Tôi rất ngạc nhiên khi các ước tính và dự đoán của OLS rất khác so với Poisson GLM với liên kết nhận dạng . Tôi nghĩ cả hai phương pháp sẽ cố gắng ước tính E (Y | X). Hàm khả năng trông như thế nào khi tôi sử dụng liên kết nhận dạng cho Poisson?

1. Vâng, chúng giống nhau. MLE cho Gaussian là bình phương nhỏ nhất, vì vậy khi bạn thực hiện Gaussian GLM với liên kết nhận dạng, bạn đang thực hiện OLS.

2. a) " Tôi nghĩ cả hai phương pháp sẽ cố gắng ước tính E (Y | X) "

   Thật vậy, họ làm, nhưng cách mà kỳ vọng có điều kiện được ước tính là một chức năng của dữ liệu không giống nhau. Ngay cả khi chúng ta bỏ qua phân phối (và do đó làm thế nào dữ liệu nhập vào khả năng) và nghĩ về GLM chỉ về giá trị trung bình và phương sai (như thể nó chỉ là một hồi quy có trọng số), phương sai của Poisson tăng theo giá trị trung bình, vì vậy các trọng số tương đối trên các quan sát sẽ khác nhau.

   b) " Hàm khả năng trông như thế nào khi tôi sử dụng liên kết nhận dạng cho Poisson? "

   $\mathcal{L}(\beta_0,\beta_1) = \prod_i e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}/y_i!$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -\lambda_i+{y_i}\log(\lambda_i)-\log{(y_i!)}\,)\quad$ trong đó$\lambda_i=\beta_0+\beta_1 x_i$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -(\beta_0+\beta_1 x_i)+{y_i}\log(\beta_0+\beta_1 x_i)-\log{(y_i!)}\,)$