Ví dụ về phân phối đuôi nặng mà không đuôi dài

Từ các bài đọc về các bản phân phối nặng và đuôi dài, tôi hiểu rằng tất cả các bản phân phối đuôi dài đều có đuôi nặng , nhưng không phải tất cả các bản phân phối có đuôi nặng đều có đuôi dài .

Ai đó có thể vui lòng cung cấp một ví dụ về:

một hàm mật độ liên tục, đối xứng, không có nghĩa là đuôi dài
một hàm mật độ liên tục, đối xứng, không có nghĩa là đuôi nặng nhưng không đuôi dài

để tôi có thể hiểu rõ hơn về ý nghĩa của định nghĩa của họ?

Sẽ tốt hơn nữa nếu cả hai có thể có phương sai đơn vị.

distributions heavy-tailed

— toliveira
nguồn

Bạn đã tìm thấy những định nghĩa đó ở đâu? Bạn có thể cho họ ở đây? Tôi nghĩ về những điều này như là từ đồng nghĩa!

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen: Có lẽ ở đây: en.wikipedia.org/wiki/...

— Scortchi - Khôi phục Monica

@kjetilbhalvorsen SA: Xem, liên kết E. LA: Tôi đang nghiên cứu các định nghĩa về phân phối "nặng-", "béo-" và "đuôi dài" và tìm thấy những lời giải thích hữu ích tại: (A) [ stats.stackexchange.com/ câu hỏi / 10726 / ,, (B) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/ con / khăn , (tiếp theo)

— toliveira

(tiếp tục) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/... tôi hiểu rằng (i) nặng đuôi distribuiton được định nghĩa như trong A, B, C, D, E, (ii) distribuiton dài đuôi được định nghĩa như trong B, C, E (iii) định nghĩa về đuôi béo là lỏng lẻo, như được giải thích trong A.

— toliveira

Hai định nghĩa gần nhau, nhưng không hoàn toàn giống nhau. Một sự khác biệt nằm ở sự cần thiết phải có tỷ lệ sống để có giới hạn.

Đối với hầu hết câu trả lời này, tôi sẽ bỏ qua các tiêu chí để phân phối là liên tục, đối xứng và phương sai hữu hạn, bởi vì chúng dễ dàng thực hiện được một khi chúng ta đã tìm thấy bất kỳ phân phối đuôi nặng hữu hạn nào không phải là đuôi dài.

Phân phối có đuôi nặng khi với bất kỳ , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

Một phân phối có chức năng sống sót có đuôi dài khi $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

Phân phối đuôi dài là nặng. Hơn nữa, vì không tăng, giới hạn của tỷ lệ không thể vượt quá . Nếu nó tồn tại và nhỏ hơn , thì sẽ giảm theo cấp số nhân - và điều đó sẽ cho phép tích phân hội tụ. $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

Cách duy nhất để thể hiện phân phối đuôi nặng mà không phải là đuôi dài, sau đó, là sửa đổi phân phối đuôi dài để tiếp tục giữ trong khi bị vi phạm. Thật dễ dàng để vượt qua một giới hạn: thay đổi nó ở vô số nơi chuyển hướng đến vô tận. Điều đó sẽ làm một số việc với , tuy nhiên, vẫn phải tăng và cadlag. Một cách là giới thiệu một số bước nhảy lên trong , điều này sẽ khiến nhảy xuống, hạ thấp tỷ lệ $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ . Để kết thúc này, hãy xác định một phép biến đổi biến thành một hàm phân phối hợp lệ khác trong khi tạo ra một bước nhảy đột ngột ở giá trị , giả sử một bước nhảy nửa chừng từ thành : $T_u$ $F$ $u$ $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

Điều này thay đổi không có thuộc tính cơ bản của : vẫn là một hàm phân phối. $F$ $T_u[F]$

Hiệu quả trên là để làm cho nó thả bởi một yếu tố của tại . Do đó, vì là không giảm, sau đó bất cứ khi nào , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

Nếu chúng ta chọn một dãy số tăng dần và phân tách của , , và áp dụng mỗi liên tiếp, nó quyết định một chuỗi các phân phối với và $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

cho . Sau khi bước, tất cả vẫn như cũ cho . Do đó, chuỗi là một chuỗi các hàm phân phối không giới hạn, giới hạn, theo chiều, ngụ ý giới hạn của nó $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

là một hàm phân phối. Bằng cách xây dựng, nó không phải là đuôi dài vì có vô số điểm mà tại đó tỷ lệ sống sót của nó giảm xuống còn hoặc thấp hơn, cho thấy nó không thể có như một giới hạn $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

Biểu đồ này cho thấy hàm sinh tồn đã được cắt giảm theo cách này tại các điểm Lưu ý trục dọc logarit. $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

Hy vọng là có thể chọn $(u_i)$ sao cho vẫn nặng đuôi. Chúng tôi biết, bởi vì là nặng đuôi, rằng có những con số mà $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

cho mỗi . Lý do cho ở bên phải là xác suất được gán cho các giá trị lên đến đã được cắt liên tiếp trong nửa lần. Quy trình đó, khi được thay thế bằng cho bất kỳ , sẽ giảm xuống , nhưng không giảm. $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

Đây là một âm mưu của cho mật độ tương ứng với chức năng sinh tồn trước đó và phiên bản "cắt giảm" của nó. Các khu vực dưới đường cong này đóng góp vào kỳ vọng. Diện tích từ đến là ; khu vực từ $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ đến là , khi cắt xuống (đến phần màu xanh thấp hơn) sẽ trở thành diện tích ; diện tích từ đến là , khi cắt xuống sẽ trở thành diện tích $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ , và như thế. Do đó, diện tích dưới mỗi "bậc thang" kế tiếp nhau ở bên phải là . $1$

Chúng ta hãy lấy một chuỗi như vậy để xác định . Chúng ta có thể kiểm tra xem nó có còn nặng không bằng cách chọn cho một số nguyên và áp dụng cấu trúc: $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

mà vẫn phân kỳ. Vì nhỏ tùy ý, điều này chứng tỏ rằng vẫn có đuôi nặng, mặc dù tài sản đuôi dài của nó đã bị phá hủy. $t$ $F_\infty$

Đây là một âm mưu của tỷ lệ sống cho phân phối cắt giảm. Giống như tỷ lệ của ban đầu , nó có xu hướng hướng tới giá trị tích lũy trên nhưng đối với các khoảng cách chiều rộng đơn vị kết thúc tại , tỷ lệ đột nhiên giảm xuống chỉ còn một nửa so với ban đầu. Những giọt này, mặc dù ngày càng ít đi khi tăng, xảy ra vô cùng thường xuyên và do đó ngăn tỷ lệ tiếp cận trong giới hạn. $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

Nếu bạn muốn một ví dụ phương sai đơn vị liên tục, đối xứng, không trung bình, bắt đầu bằng một phân phối dài hạn phương sai hữu hạn. (với ) sẽ làm, với điều kiện ; do đó, một sinh viên t phân phối cho bất kỳ mức độ tự do nào vượt quá . Những khoảnh khắc của không thể vượt quá những $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$ , từ đó nó cũng có phương sai hữu hạn. "Mollify" nó thông qua tích chập với phân phối mượt mà, chẳng hạn như Gaussian: điều này sẽ làm cho nó liên tục nhưng sẽ không phá hủy cái đuôi nặng nề của nó (rõ ràng) cũng như không có đuôi dài (không hoàn toàn rõ ràng, nhưng nó trở nên rõ ràng nếu bạn thay đổi Gaussian thành một bản phân phối Beta có hỗ trợ nhỏ gọn).

Làm cho cân đối kết quả - mà tôi vẫn sẽ gọi --by Xác định $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

$x\in\mathbb{R}$

— whuber
nguồn

Rực rỡ giải thích. Bạn đưa ra không chỉ là một ví dụ mà còn là lời biện minh cho nó. Sự rõ ràng của lời giải thích cho phép tôi hiểu (gần như) toàn bộ nó. Tôi sẽ thực hành nó trong một số ví dụ số.

— toliveira