Tại sao một biến ngẫu nhiên nhị phân âm của người Hồi giáo được gọi là?

21

Tôi không hiểu tại sao biến ngẫu nhiên "nhị thức âm" có tên đó. Tiêu cực về nó là gì? Nhị phân về nó là gì? Nhị thức tiêu cực về nó là gì?

— Mũ lưỡi trai
nguồn

2

Cũng xem các ý kiến dưới câu hỏi chung chung hơn này - mà thực sự xứng đáng có một câu trả lời thích hợp, mea culpa .

— Glen_b -Reinstate Monica

24

Đó là một tham chiếu đến thực tế là một hệ số nhị thức nhất định xuất hiện trong công thức phân phối đó có thể được viết đơn giản hơn với các số âm.

Khi bạn tiến hành một loạt thử nghiệm với xác suất thành công $p$ , khả năng bạn sẽ thấy $r$ thất bại sau khi thử nghiệm chính xác $k$ là

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Điều này cũng có thể được viết là

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

và từ "âm" dùng để chỉ trong hệ số nhị thức đó. Quan sát cách công thức này trông giống như công thức phân phối nhị thức thông thường ngoại trừ hệ số dấu đó. $−r$

Một tên khác cho phân phối nhị thức âm là phân phối của Pascal, do đó cũng có.

================================================== =======================

Câu trả lời chi tiết hơn theo Wikipedia:

Hàm khối lượng xác suất của phân phối nhị thức âm là

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Ở đây, số lượng trong ngoặc là hệ số nhị thức và bằng

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

Số lượng này thay thế có thể được viết theo cách sau, giải thích tên gọi âm tính nhị phân âm:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

3

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

-4

Denizens of StatsExchange, Đầu tiên, tin tốt, tác giả này sao chép công thức Wikipedia nên tất cả đều ở đó. Mô tả tác giả này đã viết không chính xác. Anh ta nên viết xác suất nhận được thất bại r sau k + r.
Lưu ý rằng trong các thử nghiệm k + r-1 đầu tiên, có chính xác các thất bại r-1 và k thành công. Do đó công thức chính xác bao gồm (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Sau đó, theo định nghĩa, thử nghiệm cuối cùng, cụ thể là thử nghiệm thứ k + r, phải là thất bại thứ r. Sự kiện này là độc lập nên chúng tôi chỉ cần nhân xác suất 1-p để tìm xác suất đã nêu.

— Shawn Berry
nguồn

Chào mừng bạn đến với Thống kê.SE. Tận dụng cơ hội để tham quan ( stats.stackexchange.com/tour ), nếu bạn chưa thực hiện. Xem thêm một số mẹo về định dạng trợ giúp và viết ra các phương trình bằng LaTeX / MathJax .

— Ertxiem - phục hồi Monica