Chứng minh trình tự giảm (được hỗ trợ bằng cách vẽ một số lượng lớn điểm)

Nhiều câu hỏi tôi đã đăng trên SE trong tháng vừa qua là nhằm mục đích giúp tôi giải quyết vấn đề đặc biệt này. Các câu hỏi đã được trả lời, nhưng tôi vẫn không thể đưa ra giải pháp. Vì vậy, tôi đoán rằng tôi chỉ nên hỏi vấn đề tôi đang cố gắng giải quyết trực tiếp.

Đặt , trong đó , , (số nguyên) và mỗi là một cdf trên . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Tôi muốn chứng minh rằng giảm với cho tất cả (hoặc thậm chí, cho bất kỳ cụ thể nào )! Tôi có thể chỉ ra rằng hội tụ đến một khối Dirac tại giải pháp duy nhất cho Với , . Khi xem xét một chuỗi các cdf để tăng cho cùng một , tất cả các cdf đều giao nhau tại . Giá trị của giảm cho các giá trị của nhỏ hơn và tăng cho các giá trị của lớn hơn $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ (khi tăng) hội tụ thành một đường thẳng đứng tại . $n$ $x_n$

Dưới đây là một biểu đồ của cho đến cho đến . Nó tất nhiên là một cốt truyện rời rạc, nhưng tôi có các dòng tham gia để dễ xem. Để tạo ra âm mưu này, tôi đã sử dụng NIntegrate trong Mathicala, mặc dù tôi cần phải thực hiện nó trong , vì một số lý do Mathicala không thể tạo ra câu trả lời về giá trị cao của cho hàm ban đầu. Cả hai nên tương đương nhau, theo định lý của Young, . Trong trường hợp của tôi, , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Như bạn có thể thấy, di chuyển rất nhanh đến một khoảng cách từ điểm cố định . Khi tăng, điểm cố định giảm (cuối cùng sẽ về 0). $EX_n$ $x_c$ $c$

Vì vậy, chắc chắn SEEMS đúng là giảm với cho tất cả . Nhưng tôi không thể chứng minh điều đó. Bất cứ ai có thể giúp tôi ra? (một lần nữa, tôi muốn được phần nào hài lòng với thậm chí chỉ cần một đơn ) Và, nếu bạn không thể, nhưng bạn có cái nhìn sâu sắc là tại sao vấn đề cụ thể này có thể là nan giải, hãy chia sẻ cái nhìn sâu sắc đó là tốt. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
nguồn

Bạn đã cân nhắc viết lại sao cho ? Một bằng chứng quy nạp hoặc mâu thuẫn có thể dễ dàng truy cập.

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— Lặp lại

@Iterator: Tôi đã thử (rất nhiều) nhưng không thành công.

— OctaviaQ

Đúng. +1 và xóa bình luận trước đó của tôi.

— vây

@Jand: Tôi không may sẽ phải rút lại yêu cầu chứng minh của mình vào lúc này. Tôi đã tìm thấy một lỗ hổng mà tôi chưa thể vá được. Lời xin lỗi. Tôi nên cẩn thận hơn trước khi đăng một cái gì đó. Tôi đã kiểm tra nó nhiều lần, nhưng không tìm thấy vấn đề gì cho đến lần cuối cùng tôi trải qua nó.

— Đức hồng y

@Jand: Bạn có một rất giống nhau (nhưng hơi khác nhau) câu hỏi về math.SE . Bạn có thể làm rõ liệu bạn thực sự quan tâm đến cả hai hoặc chỉ một trong số họ và tại sao?

— hồng y

Điều này đã được trả lời trên MO bởi Pietro Majer tại đây .

— OctaviaQ
nguồn