OLS về phương tiện và cỡ mẫu

Đưa ra một mô hình:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Trong đó là dummy nếu nữ và nếu không, y là chiều cao tính bằng cm. Cỡ mẫu là trong tổng số. Hơn nữa và . Tính toán các ước tính của các tham số.= 1 0 n f e m a l e = n m a l e = 100 → 200 ˉ y m a l e = 175 ˉ y f e m a l e = $f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Nỗ lực của tôi:

Sử dụng công thức cũng biết:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ Tôi nhận được: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Đầu tiên, các phần tử trong $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , vì $X$ chỉ là một nhóm, có 100 nữ trong mẫu và có tổng cộng 200 nam và nữ. Đối với $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ , phần tử đầu tiên là "grand mean" của 170 và phần thứ hai chỉ là giá trị trung bình mẫu của chiều cao đối với nữ. Cả hai đều được chia tỷ lệ 200, vì tôi không "xuống thang" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Là chính xác? Tôi hỏi, bởi vì giải pháp (khi nhân) dẫn đến một số (rất) số lẻ.

Cách tiếp cận là đúng, nhưng có một lỗi số nhỏ: chỉ có nữ, không phải . Chiều cao trung bình của nam và nữ có thể được chuyển đổi thành tổng qua$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

và

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Do đó, tổng của tất cả các độ cao là

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

như chỉ ra trong câu hỏi. Do đó các phương trình bình thường là

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( không phải ở bên phải), với giải pháp$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Tôi khá bối rối. Ý là gì Là những dư lượng? Nếu vậy thì$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

từ

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

= =

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Một vài suy nghĩ:

Cho phương trình của bạn IMHO sẽ là 175 và = -10. Vì vậy, đối với phần nam và nữ bạn nhận được:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Vì bạn có thể sử dụng

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

để giải quyết bằng cách sử dụng Pseudoinverse Moore-Penrose .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Bây giờ chứa:$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

Hy vọng nó giúp!