Xem xét phân phối đối xứng và đối xứng hai lần . Bây giờ hãy xem xét phân phối hai lần phân biệt thứ hai lệch theo nghĩa: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

trong đó là thứ tự lồi của van Zwet [0] sao cho tương đương với: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Bây giờ hãy xem xét phân phối có thể phân biệt hai lần thứ ba thỏa mãn: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Câu hỏi của tôi là: chúng ta có thể luôn luôn tìm phân phối và phân phối đối xứng để viết lại bất kỳ (cả ba định nghĩa như trên) về thành phần của và là: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

hay không?

Biên tập:

Ví dụ: nếu là Weibull với tham số hình dạng 3.602349 (sao cho đối xứng) và là phân phối Weibull với tham số hình dạng 3/2 (do đó nó bị lệch phải), tôi có $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

bằng cách đặt làm phân phối Weibull với tham số hình dạng 2.324553. Lưu ý rằng cả ba bản phân phối đều thỏa mãn: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ Theo yêu cầu. Tôi tự hỏi nếu điều này là đúng nói chung (theo các điều kiện đã nêu).

[0] van Zwet, WR (1979). Trung bình, trung vị, chế độ II (1979). Statistica Neerlandica. Tập 33, Số 1, trang 1--5.

distributions skewness

— người dùng603
nguồn

Không!

Một ví dụ đơn giản được cung cấp bởi phân phối Tukey (trường hợp đặc biệt cho của phân phối Tukey và ). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Ví dụ: đặt là Tukey với tham số và là Tukey với tham số và là phân phối Tukey cho . Vì , nên ba phân phối thỏa mãn: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(cái đầu tiên xuất phát từ định nghĩa của Tukey đối xứng nếu , những cái tiếp theo từ [0], Định lý 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Ví dụ: với , chúng ta có: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(vì một số lý do, mức tối thiểu dường như luôn ở gần ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] Thuộc tính hình dạng HL MacGillivray của gia đình g-and-h và Johnson. Thông tin Phương pháp lý thuyết thống kê, 21 (5) (1992), trang 1233 Mạnh1250

Biên tập:

Trong trường hợp của Weibull, yêu cầu này là đúng:

Đặt là phân phối Weibull với tham số hình dạng (tham số tỷ lệ không ảnh hưởng đến thứ tự lồi để chúng tôi có thể đặt thành 1 mà không mất tính tổng quát). Tương tự như vậy , và và . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Lưu ý đầu tiên rằng bất kỳ ba phân phối Weibull nào luôn có thể được đặt hàng theo nghĩa [0].

Tiếp theo, lưu ý rằng:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Bây giờ, cho Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

vậy nên

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

từ

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Do đó, yêu cầu luôn có thể được thỏa mãn bằng cách đặt . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Trung bình, trung vị, chế độ II (1979). Statistica Neerlandica. Tập 33, Số 1, trang 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Skewness cho gia đình weibull. Statistica Neerlandica. Tập 40, Số 3, trang 135 Tiếng140.

— người dùng603
nguồn

Chúng ta có thể luôn viết lại một phân phối sai lệch về mặt cấu tạo của một phân phối tùy ý và đối xứng không?

Biên tập:

Biên tập: