Tính toán chức năng liên kết chính tắc trong GLM

Tôi nghĩ rằng hàm liên kết chính tắc xuất phát từ tham số tự nhiên của họ hàm mũ. Nói, hãy xem xét gia đình thì là chức năng liên kết chính tắc. Lấy phân phối Bernoulli làm ví dụ, chúng ta có Vì vậy, chức năng liên kết chính tắc$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Nhưng khi tôi xem slide này , nó tuyên bố rằng Mặc dù có thể dễ dàng xác minh cho phân phối cụ thể này (và một số phân phối khác, như phân phối Poisson), Tôi không thể thấy sự tương đương cho trường hợp chung. Bất cứ ai có thể đưa ra gợi ý? Cảm ơn bạn

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

Hàm phương sai cho biến Bernoulli là . Chúng tôi dễ dàng kiểm tra xem với liên kết chính tắc sau đó $V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Đối với trường hợp chung, người ta xuất phát từ định nghĩa rằng xem ví dụ trang 28-29 trong McCullagh và Nelder . Với liên kết chính tắc, chúng ta có và hàm phương sai được định nghĩa là , theo thuật ngữ trở thành Bằng cách phân biệt danh tính chúng tôi nhận được

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

Trong việc xây dựng các chức năng gần như khả năng đó là tự nhiên để bắt đầu với mối quan hệ giữa giá trị trung bình và phương sai, được đưa ra trong các điều khoản của hàm sai . Trong ngữ cảnh này, tính chống đạo hàm của có thể được hiểu là sự khái quát hóa của hàm liên kết, xem, ví dụ, định nghĩa về khả năng gần đúng (log) trên trang 325 (công thức 9.3 ) ở McCullagh và Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$