Nếu

10

Đặt và là các sự kiện độc lập và để và là các sự kiện độc lập. Làm thế nào để chứng minh rằng và là những sự kiện độc lập không? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Theo định nghĩa của các sự kiện độc lập, và là độc lập khi và chỉ khi $A$ $B\cup C$

P (A \cap (B \cup C)) = P (A) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

Vì và và và là độc lập, tôi biết rằng $A$ $B$ $A$ $C$

P (A \cap B) = P (A) P (B) and P (A \cap C) = P (A) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

Tuy nhiên, tôi không có ý tưởng làm thế nào để giải quyết điều này. Tôi đã cố gắng áp dụng các quy tắc xác suất mà tôi biết nhưng không đi đến đâu.

probability self-study independence

— jenn
nguồn

Vui lòng thêm [self-study]thẻ và đọc wiki của nó .

— gung - Phục hồi Monica

3

Tôi thấy hơi thất vọng khi mọi người chỉ làm vấn đề ở đây. Bất kể thẻ "tự học" có ở đó hay không, tất cả chúng ta đều biết tôi muốn trả lời câu trả lời như thế nào và điều gì sẽ dẫn đến một. Cái sau hầu như luôn luôn có ý nghĩa hơn.

— jlimahaverford

Tôi ủng hộ bạn, bây giờ tôi thậm chí tự hỏi có một cái gì đó còn thiếu cho cả giải pháp của tôi và giải pháp của jtobin. Vì cả hai chúng tôi đều cho rằng A, B và C độc lập lẫn nhau nên có thể không đúng.

— Miền Bắc sâu

Hừm. Đó là một điểm hay. Tôi sẽ thực sự làm việc này ra bản thân mình.

— jlimahaverford

3

Điều đặc biệt đáng thất vọng là câu hỏi này đã nhận được ba câu trả lời không chính xác, mặc dù hai câu hỏi có thể được sửa đổi. Hãy xem xét hai lần tung độc lập của một đồng xu công bằng và để

và

là các sự kiện mà lần ném thứ nhất và thứ hai dẫn đến lần lượt Đầu và Đuôi và

sự kiện chính xác một lần ném dẫn đến Thủ trưởng. Do đó,

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

, do đó

là độc lập như là

. Nhưng

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

, có nghĩa là,

và

phụ thuộc.

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— Dilip Sarwate

11

Đặt và là các sự kiện độc lập và để và là các sự kiện độc lập. Làm thế nào để chứng minh rằng và là những sự kiện độc lập không? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Bạn không thể hiển thị kết quả này vì nó không giữ cho tất cả hưởng các thuộc tính này. Hãy xem xét các ví dụ phản tác dụng sau đây. $A, B, C$

Hãy xem xét hai lần tung độc lập của một đồng tiền công bằng. Đặt và là các sự kiện mà lần ném thứ nhất và thứ hai dẫn đến lần lượt Đầu và Đuôi. Đặt là sự kiện mà chính xác một lần ném dẫn đến các Đầu. $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ $A=\{HT,TH\}$

Khi đó, trong khi $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ và do đóvàlà những sự kiện độc lập như làvà sự kiện độc lập. Thật vậy,vàcũng là các sự kiện độc lập (nghĩa là,vàlàcácsự kiện độc lậptheo cặp). Tuy nhiên, $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$ $A$ $B$ $C$ và do đóvàlàphụ thuộcsự kiện.

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Bỏ ví dụ phản biện của chúng ta, chúng ta hãy xem xét những điều kiện cần thiết để tạo ra các sự kiện độc lập và Các câu trả lời khác đã thực hiện công việc cho chúng tôi. Chúng tôi có mà $A$ $B\cup C$ và do đótương đương với(như là cần thiết để chứng minh rằngvà

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$

A

$A$

là những sự kiện độc lập) chính xác khi

tương đương với

, có nghĩa là khi

và

là độc lập sự kiện.

B \cup C

$B\cup C$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

và là những sự kiện độc lập bất cứ khi nào và là những sự kiện độc lập. $A$ $B\cup C$ $A$ $B\cap C$

$B$ $C$ $B$ $C$ $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ $A$ $B$ $C$ $B$ $C$ $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $C$

Thật vậy, nếu và là những sự kiện độc lập, sau đó, cùng với giả thuyết rằng và là độc lập, như là và sự kiện độc lập, chúng ta có thể chứng minh rằng không phụ thuộc vào tất cả sự kiện , có nghĩa là, trong tất cả sự kiện trong -algebra được tạo ra bởi $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $4$ $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ $16$ $\sigma$ và ; một trong những sự kiện này là . $B$ $C$ $B\cup C$

— Dilip Sarwate
nguồn

Tôi muốn nói thêm rằng một cách tầm thường để làm cho tình trạng giữ khung là

và

rời nhau, kể từ đó

.

B

$B$

C

$C$

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$

— Miguel

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A, B, C

$A,B,C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

6

Hai điều.

$A \cap (B\cup C)$ $(B\cup C)$

$P(X\cup Y)$

Ngay cả khi bạn không nhận được câu trả lời ngay lập tức, vui lòng chỉnh sửa câu trả lời của bạn với câu trả lời cho những câu hỏi này và chúng tôi sẽ đi từ đó.

biên tập

Vui lòng kiểm tra tôi về điều này. Tôi tin rằng tôi có một ví dụ.

Lăn một cái chết để lấy X.

A: X <4

B: X trong {1, 4}

C: X trong {1, 5}

— jlimahaverford
nguồn

1

Tôi sẽ đi theo câu trả lời này! Hãy cố gắng tự làm việc ra! bạn không đạt được quá nhiều chỉ bằng cách xem câu trả lời!

— Gumeo

2

Theo nhận xét của Dilip Sarwate, những sự kiện này không được độc lập.

Cách điển hình tôi sẽ cố gắng chứng minh sự tiến hành độc lập như thế này:

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

$P(A)$ $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | A)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

$P(B) + P(C) - P(B,C)$ $P(B,C \, | \, A)$

$P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

Nhưng cho rằng điều đó chứng tỏ là khó chứng minh sự độc lập theo cách này, bước tiếp theo tốt là tìm kiếm một ví dụ, tức là một cái gì đó làm sai lệch yêu cầu độc lập. Nhận xét của Dilip Sarwate về OP bao gồm chính xác một ví dụ như vậy.

— jtobin
nguồn

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

=

$=$

\neq

$\neq$

OK, +1 để sửa câu trả lời của bạn.

— Dilip Sarwate

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

$P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

$A, B,C$

$A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$

Do đó, OP có thể cần phải xem xét lại tình trạng của câu hỏi.

— Bắc sâu
nguồn

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

Cảm ơn, đó là một độc lập giả định có thể không chính xác.

— Miền Bắc sâu

-1

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C độc lập lẫn nhau] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Do đó A và B + C là độc lập.

— Thứ Hai Srishti
nguồn