Trộn và phân chia các quá trình điểm

Ở hình bên dưới, hai bên nhận ra các quá trình điểm với mật độ (cường độ) khác nhau và đang được trộn lẫn với tâm của các khu vực thuộc để xây dựng một quy trình điểm ở giữa với cường độ . Sau đó, chọn ngẫu nhiên các điểm như hai bộ được trích xuất từ ​​nó như được hiển thị ở phía bên phải. Câu hỏi: Là ? và ? Nếu hai ở bên trái là Poisson PP, thì giữa có phải là Poisson PP không? Làm thế nào về hai ở phía bên tay phải?$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi cần một chút nền tảng và ký hiệu. Trong thuật ngữ chung hãy để$N$ biểu thị một quá trình điểm trong mặt phẳng, có nghĩa là với bất kỳ tập hợp Borel nào, $A$, trên máy bay, $N(A)$là một số nguyên có giá trị (bao gồm$+\infty$) biến ngẫu nhiên, tính số điểm trong $A$. Hơn thế nữa,$A \mapsto N(A)$là thước đo cho mỗi lần thực hiện quy trình điểm$N$.

Liên kết với quá trình điểm là biện pháp kỳ vọng

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ nơi kỳ vọng luôn được xác định rõ, kể từ khi $N(A) \geq 0$, nhưng có thể $+\infty$. Nó là một bài tập để xác minh rằng$\mu$lại là một biện pháp. Để tránh các vấn đề kỹ thuật, giả sử rằng$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$, cũng hợp lý nếu quá trình chỉ thực sự tồn tại trên một tập hợp giới hạn, chẳng hạn như hộp trong hình mà OP đã đăng. Nó ngụ ý rằng$N(A) < \infty$ như cho tất cả $A$.

Các định nghĩa và quan sát sau đây.

• Chúng tôi nói rằng $N$có cường độ $\lambda$ nếu $\mu$ có mật độ $\lambda$ viết biện pháp Lebesgue, nghĩa là, nếu $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• Nếu $N_1$ và $N_2$là hai quá trình điểm chúng ta định nghĩa chồng chất là tổng$N_1 + N_2$. Điều này tương đương với việc áp đặt mô hình một điểm lên trên điểm kia.
• Nếu $N_1$ và $N_2$ là hai quá trình điểm (độc lập hoặc không) với cường độ $\lambda_1$ và $\lambda_2$ sau đó chồng chất có cường độ $\lambda_1 + \lambda_2$.
• Nếu $N_1$ và $N_2$là các quá trình Poisson độc lập thì sự chồng chất là một quá trình Poisson. Để thể hiện điều này trước tiên chúng ta quan sát rằng$N_1(A) + N_2(A)$ là Poisson từ các thuộc tính tích chập của phân phối Poisson, và sau đó nếu $A_1, \ldots, A_n$là rời rạc rồi$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$là độc lập vì$N_1$ và $N_2$là các quá trình độc lập và Poisson chính họ. Hai thuộc tính này đặc trưng cho một quá trình Poisson.

Tóm tắt I: Chúng tôi đã chỉ ra rằng bất cứ khi nào một quá trình điểm là một tổng, hoặc chồng chất, của hai quá trình điểm có cường độ thì sự chồng chất có cường độ tổng của cường độ. Nếu, hơn nữa, các quá trình là Poisson độc lập, chồng chất là Poisson.

Đối với phần còn lại của câu hỏi, chúng tôi giả định rằng $N(\{x\}) \leq 1$ như đối với tất cả các bộ đơn $\{x\}$. Sau đó, quá trình điểm được gọi là đơn giản. Các quá trình Poisson với cường độ rất đơn giản. Đối với một quá trình điểm đơn giản có một đại diện của$N$ như

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ đó là, như một tổng số các biện pháp Dirac tại các điểm ngẫu nhiên. Nếu$Z_i \in \{0,1\}$là các biến ngẫu nhiên Bernoulli, pha loãng ngẫu nhiên là quá trình điểm đơn giản $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ Rõ ràng là với $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ nó giữ điều đó $N = N_1 + N_2$. Nếu chúng ta làm iid mỏng ngẫu nhiên, có nghĩa là$Z_i$Tất cả đều độc lập và được phân phối giống hệt nhau với xác suất thành công $p$nói rồi
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ Từ đây, $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

Nếu $N$ là một quá trình Poisson nên rõ ràng rằng đối với sự rời rạc $A_1, \ldots, A_n$ sau đó $N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$ lại độc lập, và

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ Điêu nay cho thây răng $N_1$là một quá trình Poisson. Tương tự$N_2$ là một quá trình Poisson (với số đo trung bình $(1-p)\mu$). Những gì còn lại là để cho thấy rằng$N_1$ và $N_2$trong thực tế, độc lập. Chúng tôi cắt một góc ở đây và nói rằng nó thực sự đủ để cho thấy rằng$N_1(A)$ và $N_2(A)$ là độc lập cho tùy ý $A$và điều này theo sau từ $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Tóm tắt II: Chúng tôi kết luận rằng iid mỏng ngẫu nhiên với xác suất thành công$p$ của một quá trình điểm đơn giản, $N$, với cường độ $\lambda$ kết quả trong hai quá trình điểm đơn giản, $N_1$ và $N_2$, với cường độ cao $p\lambda$ và $(1-p)\lambda$, tương ứng, và $N$ là sự chồng chất của $N_1$ và $N_2$. Nếu, hơn nữa,$N$ là một quá trình Poisson sau đó $N_1$ và $N_2$ là các quá trình Poisson độc lập.

Thật tự nhiên khi hỏi liệu chúng ta có thể gầy một cách độc lập mà không cho rằng $Z_i$Được phân phối giống hệt nhau và thu được kết quả tương tự. Điều này là có thể, nhưng phức tạp hơn một chút để xây dựng, bởi vì sự phân phối của$Z_i$ sau đó phải được liên kết với $X_i$bằng cách nào đó Ví dụ,$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$ cho một chức năng nhất định $p$. Sau đó có thể hiển thị kết quả tương tự như trên nhưng với cường độ$p\lambda$ nghĩa là hàm $p(x)\lambda(x)$. Chúng tôi bỏ qua bằng chứng. Tài liệu tham khảo toán học tổng quát tốt nhất bao gồm các quá trình điểm không gian là Daley và Vere-Jones . Cụ thể, thứ hai bao gồm các thuật toán thống kê và mô phỏng, đặc biệt, là Møller và Waagepeteren .