Nghịch lý pháp sư uy tín

Bạn có thể biết mẹo trong bộ phim The Uy tín :

[MOVIE SPOILER] Một pháp sư đã tìm thấy một trò ảo thuật ấn tượng: anh ta đi vào một cỗ máy, đóng cửa lại, rồi biến mất và xuất hiện ở phía bên kia căn phòng. Nhưng cỗ máy không hoàn hảo: thay vì chỉ dịch chuyển tức thời anh ta, nó nhân đôi anh ta. Pháp sư ở lại nơi anh ta ở, và một bản sao được tạo ra ở phía bên kia của căn phòng. Sau đó, ảo thuật gia trong máy rơi kín đáo trong bể nước dưới sàn và bị chết đuối. Chỉnh sửa: Xác suất bản sao mới của pháp sư bị chết đuối là 1/2 (nói cách khác, bản sao mới có 1/2 cơ hội bị chết đuối và 1/2 cơ hội xuất hiện trong phòng). Ngoài ra, bể nước không bao giờ thất bại và cơ hội là 1 pháp sư rơi trong bể chết.

Vì vậy, ảo thuật gia không thực sự thích thực hiện thủ thuật này, bởi vì "bạn không bao giờ biết mình sẽ ở đâu, ở phía bên kia của căn phòng hoặc bị chết đuối".

Bây giờ, nghịch lý là như sau: Hãy tưởng tượng nhà ảo thuật thực hiện thủ thuật 100 lần. Cơ hội sống sót của anh ta là gì?

Chỉnh sửa, câu hỏi bổ sung: cơ hội của nhà ảo thuật giữ bộ não vật lý của mình và không có một bộ não mới là gì?

Phân tích nhanh: Một tay, có một pháp sư còn sống và 100 pháp sư bị chết đuối, vì vậy cơ hội của anh ta là 1 trên 100.

Mặt khác, mỗi lần anh ta thực hiện mánh khóe, anh ta có 1/2 cơ hội sống sót, vì vậy cơ hội của anh ta là để sống.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Phản ứng đúng là gì và tại sao?

Sai lầm này đã được đưa ra bằng chứng trong các cuộc trò chuyện bằng văn bản giữa Fermat, Pascal và các nhà toán học nổi tiếng người Pháp vào năm 1654 khi hai người trước đang xem xét "vấn đề về điểm". Một ví dụ đơn giản là thế này:

Hai người đánh bạc về kết quả của hai lần tung đồng xu công bằng. Người chơi A thắng nếu lật là đầu; nếu không, Người chơi B thắng. Cơ hội chiến thắng của người chơi B là gì?

Đối số sai bắt đầu bằng cách kiểm tra tập hợp các kết quả có thể xảy ra mà chúng ta có thể liệt kê:

1. H : Lần lật đầu tiên là những cái đầu. Người chơi A thắng.
2. TH : Chỉ lật thứ hai là đầu. Người chơi A thắng.
3. TT : Không lật là đầu. Người chơi B thắng.

Bởi vì Người chơi A có hai cơ hội chiến thắng và B chỉ có một cơ hội, tỷ lệ cược có lợi cho B là (theo lập luận này) 1: 2; đó là, cơ hội của B là 1/3. Trong số những người bảo vệ lập luận này có Gilles Personne de Roberval , một thành viên sáng lập của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp.

Sai lầm là rõ ràng đối với chúng ta ngày hôm nay, bởi vì chúng ta đã được giáo dục bởi những người học được từ cuộc thảo luận này. Fermat lập luận (chính xác, nhưng không thuyết phục lắm) trường hợp đó (1) thực sự phải được xem xét hai trường hợp, như thể trò chơi đã được chơi qua cả hai lần lật dù thế nào đi chăng nữa. Gọi một chuỗi các giả thuyết không thực sự diễn ra khiến nhiều người không yên tâm. Ngày nay chúng ta có thể thấy thuyết phục hơn khi chỉ ra xác suất của các trường hợp riêng lẻ: cơ hội của (1) là 1/2 và cơ hội (2) và (3) là 1/4, vì vậy cơ hội mà A thắng bằng 1/2 + 1/4 = 3/4 và cơ hội B thắng là 1/4. Những tính toán này dựa trên các tiên đề của xác suất, cuối cùng đã được giải quyết vào đầu thế kỷ 20, nhưng về cơ bản được thành lập vào mùa thu năm 1654 bởi Pascal và Fermat và phổ biến khắp châu Âu ba năm sau bởi Christian Huyghens trong chuyên luận ngắn gọn về xác suất (lần đầu tiên từng được công bố), De ratiociniis in ludo aleae (tính toán trong các trò chơi may rủi).

Câu hỏi hiện tại có thể được mô hình thành 100 lần lật đồng xu, với những cái đầu tượng trưng cho cái chết và đuôi đại diện cho sự sống còn. Đối số cho "1 trong 100" (mà thực sự nên là 1/101, nhân tiện) có cùng một lỗ hổng.

Một tay, có một pháp sư còn sống và 100 pháp sư bị chết đuối, vì vậy cơ hội của anh ta là 1 trên 100.

Lý do đó mặc nhiên cho rằng mọi pháp sư đều có khả năng là người sống sót ở cuối quá trình. Tuy nhiên, chỉ có bản gốc sẽ phải chịu đựng tất cả 100 thử nghiệm và anh ta sẽ có tỷ lệ cược tồi tệ nhất. Tương phản bản gốc với bản sao cuối cùng được tạo ra; anh ta chỉ cần sống sót một lần và anh ta có cơ hội 1 trong 2 là người sống sót duy nhất.

Giả vờ rằng thay vì nhân bản, chúng tôi đang đối phó với một giải đấu loại trừ duy nhất (như giải đấu bóng rổ NCAA nổi tiếng mỗi tháng ba). Bản gốc phải kéo dài 100 vòng trong khi bản sao cuối cùng chỉ phải chơi trong trận chung kết tourney. Không phải tất cả các bản sao đều có khả năng tồn tại như nhau cho đến khi kết thúc và bản gốc có cơ hội xấu nhất là .$\frac{1}{2^{100}}$

Xác suất anh ta sống sót là 1 trên mỗi thử nghiệm và xác suất là 1 anh ta chết trong mọi thử nghiệm (mặc dù thất bại trong bể nước). Sau khi nhân đôi, không còn "anh ấy" nữa; có "anh ấy".