Việc con trai người Ý của tôi sẽ theo học tại một trường tiểu học sẽ thay đổi số lượng trẻ em Ý dự kiến sẽ có mặt trong lớp học của mình?

37

Đây là một câu hỏi xuất phát từ một tình huống thực tế, mà tôi đã thực sự bối rối về câu trả lời của nó.

Con trai tôi chuẩn bị bắt đầu học tiểu học ở London. Vì chúng tôi là người Ý, tôi tò mò muốn biết có bao nhiêu trẻ em Ý đang theo học tại trường. Tôi đã hỏi điều này với Nhân viên tuyển sinh trong khi nộp đơn và cô ấy nói với tôi rằng họ có trung bình 2 trẻ em Ý mỗi lớp (30).

Bây giờ tôi đang ở thời điểm mà tôi biết rằng con tôi đã được chấp nhận, nhưng tôi không có thông tin nào khác về những đứa trẻ khác. Tiêu chí tuyển sinh dựa trên khoảng cách, nhưng với mục đích của câu hỏi này, tôi tin rằng chúng ta có thể giả định nó dựa trên sự phân bổ ngẫu nhiên từ một mẫu lớn các ứng viên.

Có bao nhiêu trẻ em Ý dự kiến sẽ vào lớp của con trai tôi? Nó sẽ gần hơn với 2 hoặc 3?

probability self-study average

— người dùng90213
nguồn

39

Điều này làm tôi nhớ đến câu nói đùa cũ, "Tôi luôn mang theo một quả bom khi đi du lịch, bởi vì tỷ lệ hai người có một quả bom trên cùng một máy bay là gì?"

— Lập hóa đơn cho thằn lằn

2

Việc Cán bộ tuyển sinh nói với bạn rằng trung bình có 2 trẻ em Ý mỗi lớp khiến dữ liệu này trở nên 'đáng nghi' đối với tôi. Nếu nó xuất phát từ một tính toán thực sự, bạn sẽ mong đợi một số không tròn. Vì vậy, có thể giá trị thực là 1,51 hoặc 2,49. Ngoài ra, vì Nhân viên tuyển sinh có nhiều khả năng cố gắng 'làm hài lòng bạn' với câu trả lời của họ, họ có thể đã làm tròn chứ không phải xuống (nếu họ nghĩ rằng bạn sẽ hài lòng khi có con trong số những người Ý khác), cho thấy xác suất đó phân phối trên các giá trị gần 2 sẽ không đối xứng. Câu trả lời dưới đây có thể được điều chỉnh.

— PatrickT

4

@PatrickT "Chế độ" là loại trung bình hợp lệ.

— Ian Ringrose

1

Cảm ơn rất nhiều chàng trai đã phản hồi. Bây giờ tôi cũng đã đăng một câu hỏi tương tự, nhưng với một khung khác nhau ( stats.stackexchange.com/questions/173969/ chủ ), đã được kích hoạt bởi một số câu trả lời / câu trả lời của bạn.

— dùng90213

1

@PatrickT Tôi nghĩ rằng có rất nhiều người có trình độ học vấn kém, những người sẽ bị nhầm lẫn bởi 1.5 ("Làm thế nào để bạn có một nửa đứa trẻ?") So với các số liệu thống kê gây khó chịu về việc làm tròn quá mức dường như đối với tôi. (Giả sử số chính xác hơn thực tế không phải là 1.9 hoặc 2.1.)

— Dan Neely

27

Như mọi khi, bạn cần xem xét một mô hình xác suất mô tả cách nhà trường phân phối trẻ em giữa các lớp. Khả năng:

Nhà trường quan tâm rằng tất cả các lớp học có cùng số lượng công dân nước ngoài.
Nhà trường thậm chí còn cố gắng đảm bảo rằng mỗi quốc tịch được đại diện giống nhau trong mỗi lớp.
Trường không xem xét quốc tịch chút nào và chỉ phân phối ngẫu nhiên hoặc dựa trên các tiêu chí khác.

Tất cả những điều này là hợp lý. Đưa ra chiến lược 2, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là không. Khi họ sử dụng chiến lược 3, kỳ vọng sẽ gần bằng 3, nhưng nhỏ hơn một chút. Đó là bởi vì con trai của bạn chiếm một "khe" và bạn có ít cơ hội hơn cho một người Ý ngẫu nhiên.

Khi nhà trường sử dụng chiến lược 1, kỳ vọng cũng tăng lên; bao nhiêu tùy thuộc vào số lượng công dân nước ngoài mỗi lớp.

Không biết trường của bạn không có cách nào để trả lời điều này hoàn hảo hơn. Nếu bạn chỉ có một lớp mỗi năm và các tiêu chí nhập học như được mô tả, câu trả lời sẽ giống như cho 3 ở trên.

Tính toán cho 3 chi tiết:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X là số trẻ em Ý trong lớp. Số 1 đến từ đứa trẻ được biết đến, 29 là những người còn lại trong lớp và 2/30 là xác suất để một đứa trẻ vô danh là người Ý đưa ra những gì trường học nói. B là phân phối nhị thức.

Lưu ý rằng bắt đầu bằng không đưa ra câu trả lời thích hợp, vì biết rằng một đứa trẻ cụ thể là người Ý vi phạm khả năng trao đổi được giả định bởi phân phối nhị thức. So sánh điều này với nghịch lý bé trai hay bé gái , nơi nó tạo ra sự khác biệt cho dù bạn biết rằng một đứa trẻ là con gái so với việc biết rằng đứa trẻ lớn hơn là con gái. $E(X|X\geq1)$

— Erik
nguồn

2

Hãy thực hiện giả định nhị thức và cho . Có vẻ như sự lựa chọn giữa và có thể phụ thuộc vào các giả định. Ví dụ: nếu tôi cho rằng bất kỳ người cha Ý nào ở London rất có thể sẽ bối rối như @ user90213 và sau đó sẽ đăng một câu hỏi ở đây, thì việc xem câu hỏi này không làm thay đổi nhiều kỳ vọng của tôi. Tôi chỉ biết rằng một đứa trẻ là người Ý và sẽ tính . Có phải đó là những gì bạn gọi là "khả năng trao đổi"? Nếu mặt khác, người dùng90213 là bạn thân của tôi và tôi biết con trai của anh ấy, thì tôi sẽ đến câu trả lời của bạn.

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— amip nói rằng Phục hồi lại

2

@amoeba Biết rằng trong một trường học cụ thể và trong một lớp học cụ thể có đứa trẻ của người dùng90213 là đủ để phân biệt anh ta với những người còn lại, điều đó không phụ thuộc vào mối quan hệ của bạn với người dùng đặc biệt như thế nào. Nhưng nó khó ở chỗ bạn học thông tin như thế nào. Ví dụ: nếu bạn hỏi qua email rằng đứa trẻ lớn tuổi nhất trong lớp liên lạc với bạn bằng tên và bạn nhận được câu trả lời, bạn sẽ tiếp cận phương pháp ngay cả khi bạn có thể phân biệt đứa trẻ sau đó. Hãy thử googling cho nghịch lý gái-trai hoặc thậm chí đưa ra một câu hỏi chung hơn cho điều đó. Có rất nhiều cuộc thảo luận về nó.

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— Erik

Đúng vậy, cảm ơn Erik. Ý tôi là trong bình luận trước đó là một cái gì đó tương tự như ví dụ email của bạn. Nếu tôi cho rằng tất cả các phụ huynh Ý trong một lớp sẽ đăng câu hỏi ở đây, thì việc xem câu hỏi này giống hệt như được liên lạc với đứa trẻ lớn tuổi nhất ở Ý. Có vẻ như chúng ta thường đồng ý, +1. Liên kết wiki thực sự thú vị.

— amip nói rằng Phục hồi lại

(+1) Nhưng bối rối tại sao bạn nói "Nếu bạn chỉ có một lớp mỗi năm [...]".

— Scortchi - Phục hồi Monica

@Scortchi Nếu trường chỉ có một lớp mỗi năm, thì trường có thể sử dụng hai chiến lược có mệnh giá 1 và 2, vì mọi trẻ em được chấp nhận tại trường năm nay đều học chung một lớp.

— Erik

13

Một cách khác để xem xét điều này là ở cấp độ của từng đứa trẻ. Giả sử rằng 30 trẻ em được rút ngẫu nhiên từ một quần thể (mà bạn đã chỉ ra rằng chúng ta có thể), chúng ta có thể làm việc lạc hậu với xác suất thô của một đứa trẻ Ý được rút ra từ dân số này: = . $2/30$ $1/15$

Cho rằng chúng tôi biết rằng một trong số 30 là người Ý, chúng tôi chỉ phải tính xác suất cho những đứa trẻ còn lại:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Vì vậy, việc biết rằng con bạn là người Ý đã thay đổi số lượng trẻ em Ý dự kiến trong lớp lên khoảng 2.933, gần với 3 hơn 2.

— Thomas Cleberg
nguồn

5

Đây là suy nghĩ của tôi về cách tiếp cận này:

Đặt biến ngẫu nhiên biểu thị số trẻ em Ý trong một lớp hiện có kích thước . Gọi là chỉ số cho một đứa trẻ mới là người Ý. Giả sử rằng chúng ta thêm con vào lớp này. Thì số lượng trẻ em Ý dự kiến trong lớp tăng kích thước này là $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ . Lưu ý rằng tính độc lập không thành vấn đề ở đây vì chúng tôi chỉ sử dụng tính tuyến tính của kỳ vọng. Nếu con được biết là người Ý thì với xác suất 1 nên chúng ta đã tăng giá trị mong đợi lên 1. $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
nguồn

1

n + 1

$n+1$

Vâng. Có điều gì tôi đang thiếu liên quan đến điều đó?

— JLD

1

Phụ thuộc vào cách bạn đọc câu hỏi. Giả sử các lớp học có đúng 30 trẻ.

— Scortchi - Phục hồi Monica

1

Có lẽ tôi đã hiểu nhầm câu hỏi. Tôi nghĩ rằng nó đang hỏi về việc thêm một đứa trẻ Ý đã biết làm thay đổi kỳ vọng như thế nào.

— JLD

1

Đó là một điểm rất tốt về quy mô lớp học có thể được giới hạn

— jld

1

$\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(lưu ý thay đổi về tổng kết giới hạn dưới ở bước cuối cùng)

— jf328
nguồn

1

Bạn có thể giải thích về kỳ vọng có điều kiện?

— Antoni Parellada

3

Câu trả lời của bạn không chính xác. Cách thích hợp để tính toán điều này sẽ là 1 (đứa trẻ đã biết) + E (B (29, 2/30)) hóa ra là 2.9333. Và giả định về phân phối nhị thức là nghi vấn.

— Erik

Một điều nữa tôi muốn chỉ ra: a) tính toán của bạn về kỳ vọng có điều kiện là sai. Nhưng b) quan trọng hơn, bắt đầu với kỳ vọng có điều kiện của bạn là không chính xác. Biết rằng một đứa trẻ cụ thể là người Ý phá vỡ khả năng trao đổi được giả định bởi phân phối bất thường. Nó rất giống với nghịch lý trai-gái ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) nơi nó tạo ra sự khác biệt cho dù bạn biết rằng đứa trẻ lớn hơn là con gái hay biết rằng một trong hai đứa trẻ là con gái.

— Erik

Nhận xét cào a) từ trên. Nhưng dù sao thì b) cũng nghiêm trọng hơn;)

— Erik

Tôi đồng ý. Đối với OP, phân phối không còn là nhị thức (30, 2/30), mà thực sự là 1 + nhị thức (29, 2/30)

— jf328

-3

Không. Kiến thức của bạn về các sự kiện sắp xảy ra không thay đổi gì về trải nghiệm điển hình của trường.

— Mart
nguồn

2

-1. Điều này là không chính xác, như được giải thích chi tiết trong các câu trả lời và ý kiến khác ở đây.

— amip nói phục hồi Monica

tha thứ cho sự thiếu toán học nâng cao của tôi, nhưng điều gì khiến đứa trẻ hiền lành này KHÔNG phải là một trong những đứa trẻ 'điển hình 2'? .. sao cho chúng ta kết thúc gần hơn với 3.

— Mart

Xem số liệu thống kê.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— amoeba nói Phục hồi Monica

Mart: Hãy tưởng tượng tôi ném một đồng xu mười lần và đếm những cái đầu; Không có gì kỳ lạ về đồng xu hoặc cách tôi ném nó. Tôi lặp lại thí nghiệm đó nhiều lần và trung bình tôi thấy gần như chính xác 5 cái đầu trong mười lần ném; kết quả mà bạn thấy (1000 lần tung tất cả, trong đó 50,3% là người đứng đầu, nằm trong biến thể dự kiến cho một quy trình tung đồng xu công bằng; chúng tôi quyết định đồng ý rằng quy trình có vẻ ít công bằng trên thực tế). Bây giờ tôi thực hiện thử nghiệm thêm một lần nữa với bạn và bạn thấy rằng 4 lần ném đầu tiên đều là đầu. Số lượng đầu dự kiến trong bộ mười lần tung là bao nhiêu? 5? hơn?

— Glen_b -Reinstate Monica

Lưu ý rằng theo lập luận trước đó của bạn, bốn "đầu tiên" có thể là bốn trong số năm dự kiến ". Nhưng sau đó, bạn sẽ nói rằng có ít hơn 50% cơ hội trong sáu lần ném tiếp theo (thực tế bạn đang nói trung bình chỉ có 1/6 cơ hội). Làm thế nào đồng xu biết để đi lên đầu ít thường xuyên hơn?

— Glen_b -Reinstate Monica

Việc con trai người Ý của tôi sẽ theo học tại một trường tiểu học sẽ thay đổi số lượng trẻ em Ý dự kiến ​​sẽ có mặt trong lớp học của mình?

Việc con trai người Ý của tôi sẽ theo học tại một trường tiểu học sẽ thay đổi số lượng trẻ em Ý dự kiến sẽ có mặt trong lớp học của mình?