Các biến ngẫu nhiên iid là gì?

Làm thế nào bạn sẽ đi về việc giải thích iid (độc lập và phân phối giống hệt) cho những người không có kỹ thuật?

Nó có nghĩa là "Độc lập và phân phối giống hệt nhau".

Một ví dụ điển hình là sự kế thừa các lần ném của một đồng tiền công bằng: Đồng xu không có bộ nhớ, vì vậy tất cả các lần ném là "độc lập".

Và mỗi lần ném là 50:50 (đầu: đuôi), do đó, đồng xu vẫn giữ được sự công bằng - phân phối mà mỗi lần ném được rút ra, có thể nói, vẫn và giữ nguyên: "phân phối giống hệt nhau".

Một điểm khởi đầu tốt sẽ là trang Wikipedia .

::BIÊN TẬP::

Theo liên kết này để khám phá thêm về khái niệm này.

Giải thích phi kỹ thuật:

Độc lập là một khái niệm rất chung chung. Hai sự kiện được cho là độc lập nếu sự xuất hiện của một sự kiện không cung cấp cho bạn bất kỳ thông tin nào về việc sự kiện kia có xảy ra hay không. Cụ thể, xác suất mà chúng tôi gán cho sự kiện thứ hai không bị ảnh hưởng bởi kiến ​​thức rằng sự kiện đầu tiên đã xảy ra.

• Ví dụ về các sự kiện độc lập, có thể được phân phối giống hệt nhau
  Xem xét việc ném hai đồng tiền khác nhau lần lượt. Giả sử rằng ngón tay cái của bạn không bị mỏi quá mức khi lật đồng xu đầu tiên, thật hợp lý khi cho rằng việc tung đồng xu đầu tiên dẫn đến việc Head không ảnh hưởng đến những gì bạn nghĩ là xác suất của những người đứng đầu trong lần ném thứ hai là. Hai sự kiện được gọi là các sự kiện độc lập .

  $$\{\text{first coin toss resulted in Heads}\}~~\text{and}~~\{\text{second coin toss resulted in Heads}\}$$

  • Nếu chúng ta biết, hoặc khăng khăng khăng khăng, rằng hai đồng tiền có xác suất dẫn đến các Đầu khác nhau, thì các sự kiện không được phân phối giống hệt nhau.

  • Nếu chúng ta biết hoặc giả sử rằng hai đồng tiền có cùng xác suất xuất hiện, thì các sự kiện trên cũng được phân phối giống hệt nhau, có nghĩa là cả hai đều có xác suất xảy ra như nhau. Nhưng lưu ý rằng trừ khi , xác suất của Heads không bằng xác suất của Tails. Như đã lưu ý trong một trong các Nhận xét, "phân phối giống hệt nhau" không giống như "có thể xảy ra như nhau".$p$$p$$p = \frac 12$

• Ví dụ về các sự kiện không phụ thuộc phân phối giống hệt nhau
  Xem xét một chiếc bình có hai quả bóng trong đó, một màu đen và một màu trắng. Chúng tôi chạm vào nó và lần lượt rút ra hai quả bóng, chọn quả bóng thứ nhất một cách ngẫu nhiên (và điều này tất nhiên sẽ quyết định màu sắc của quả bóng tiếp theo). Do đó, hai kết quả có khả năng như nhau của thí nghiệm là (Trắng, Đen) và (Đen, Trắng) và chúng ta thấy rằng quả bóng đầu tiên có khả năng là Đen hoặc Trắng và bóng thứ hai cũng có khả năng tương đương với Đen hoặc Trắng. Nói cách khác, các sự kiện chắc chắn được phân phối giống hệt nhau, nhưng chúng chắc chắn là không phải

  $$\{\text{first ball drawn is Black}\}~~\text{and}~~\{\text{second ball drawn is Black}\}$$ sự kiện độc lập. Thật vậy, nếu chúng ta biết rằng sự kiện đầu tiên đã xảy ra, chúng ta biết chắc chắn rằng sự kiện thứ hai không thể xảy ra. Do đó, trong khi đánh giá ban đầu của chúng tôi về xác suất của sự kiện thứ hai là , một khi chúng tôi biết rằng sự kiện đầu tiên đã xảy ra, chúng tôi đã xem xét lại đánh giá của chúng tôi về xác suất của lần rút thứ hai sẽ có màu đen từ đến .$\frac 12$$\frac 12$$0$

Một biến ngẫu nhiên là biến chứa xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra trong một kịch bản. Ví dụ: cho phép tạo một biến ngẫu nhiên đại diện cho số lượng đầu trong 100 lần tung đồng xu. Biến ngẫu nhiên sẽ chứa xác suất nhận được 1 đầu, 2 đầu, 3 đầu ..... tất cả các cách đến 100 đầu. Hãy gọi biến ngẫu nhiên này X .

Nếu bạn có hai biến ngẫu nhiên thì chúng là IID (phân phối nhận dạng độc lập) nếu:

1. Nếu họ độc lập . Như đã giải thích ở trên tính độc lập có nghĩa là sự xuất hiện của một sự kiện không cung cấp bất kỳ thông tin nào về sự kiện kia. Ví dụ: nếu tôi nhận được 100 đầu sau 100 lần lật, thì xác suất nhận được đầu hoặc đuôi trong lần lật tiếp theo là như nhau.
2. Nếu mỗi biến ngẫu nhiên chia sẻ cùng một phân phối . Ví dụ, cho phép lấy các biến ngẫu nhiên từ trên cao - X . Hãy nói rằng X đại diện cho Obama sắp lật một đồng xu 100 lần. Bây giờ hãy nói rằng Y đại diện cho một Linh mục sắp lật một đồng xu 100 lần. Nếu Obama và Linh mục lật đồng xu với cùng xác suất hạ cánh trên đầu, thì X và Y được coi là phân phối giống hệt nhau. Nếu chúng tôi lấy mẫu nhiều lần từ Linh mục hoặc Obama, thì các mẫu được coi là phân phối giống hệt nhau.

Lưu ý bên lề: Độc lập cũng có nghĩa là bạn có thể nhân xác suất. Hãy nói rằng xác suất của các đầu là p, sau đó xác suất để có được hai đầu liên tiếp là p * p hoặc p ^ 2.

Hai biến phụ thuộc có thể có cùng phân phối có thể được hiển thị với ví dụ này:

Giả sử hai thử nghiệm liên tiếp liên quan đến mỗi 100 lần tung đồng xu thiên vị, trong đó tổng số Đầu được mô hình hóa như một biến ngẫu nhiên X1 cho thử nghiệm đầu tiên và X2 cho thử nghiệm thứ hai. X1 và X2 là các biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số 100 và p, trong đó p là độ lệch của đồng xu.
Như vậy, chúng được phân phối giống hệt nhau. Tuy nhiên, chúng không độc lập, vì giá trị của cái trước khá thông tin về giá trị của cái sau. Đó là nếu kết quả của thử nghiệm đầu tiên là 100 Đầu, điều này cho chúng ta biết rất nhiều về sự thiên vị của đồng xu và do đó cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin mới liên quan đến việc phân phối X2.
Tuy nhiên X2 và X1 được phân phối giống hệt nhau vì chúng có nguồn gốc từ cùng một đồng tiền.

Điều cũng đúng là nếu 2 biến ngẫu nhiên phụ thuộc thì hậu tố của X2 đã cho X1 sẽ không bao giờ giống với trước của X2 và ngược lại. Trong khi khi X1 và X2 độc lập thì hậu thế của họ ngang bằng với các linh mục của họ. Do đó, khi hai biến phụ thuộc, việc quan sát một trong số chúng dẫn đến các ước tính sửa đổi liên quan đến phân phối của biến thứ hai. Tuy nhiên cả hai có thể là từ cùng một phân phối, chỉ là chúng ta tìm hiểu trong quá trình nhiều hơn về bản chất của phân phối này. Vì vậy, quay trở lại đồng xu tung các thử nghiệm, ban đầu khi không có bất kỳ thông tin nào, chúng tôi có thể giả sử rằng X1 và X2 tuân theo phân phối Binomial với các tham số 100 và 0,5. Nhưng sau khi quan sát 100 Đầu liên tiếp, chúng tôi chắc chắn sẽ điều chỉnh lại ước tính của chúng tôi về tham số p để làm cho nó khá gần với 1.

Một tập hợp của một số rút ngẫu nhiên từ cùng một phân phối. Một ví dụ là kéo một viên bi ra khỏi túi 10.000 lần và đếm số lần bạn kéo viên bi đỏ ra.

Nếu một biến ngẫu nhiên xuất phát từ một dân số có (giả sử) một phân phối bình thường, thì đó là pdf (hàm mật độ xác suất) là phân phối bình thường, với trung bình dân số và phương sai dân số ( các con số là giả thuyết và chỉ để bạn hiểu và để đơn giản hóa các so sánh) chúng ta có thể mô tả nó như sau: .μ = 3 σ 2 = 4 X ∼ N ( 3 , 4 $X$$\mu=3$$\sigma^2=4$$X \sim N(3 , 4)$

Bây giờ nếu chúng ta có một biến ngẫu nhiên cũng được phân phối bình thường và đó là thì và được phân phối giống hệt nhau.Y ∼ N ( 3 , 4 ) X $Y$$Y \sim N(3, 4)$$X$$Y$

Tuy nhiên, được phân phối giống hệt nhau không nhất thiết ngụ ý độc lập.