Làm thế nào để tính xác suất kết quả của cơ chế lăn xúc xắc phức tạp này?

Câu hỏi này hỏi về xác suất thành công trong Trò chơi nhập vai. Tuy nhiên, câu hỏi và câu trả lời của nó không bao gồm một số phức tạp của cơ chế xúc xắc. Đặc biệt, nó không bao gồm các botch (một kết quả có thể) cả.

Một người chơi có một nhóm súc sắc, dựa trên một số thợ máy trong trò chơi không liên quan đến câu hỏi này. Nhóm xúc xắc là số lượng xúc xắc khác nhau mà người chơi có thể tung. Có các quy tắc về số lượng xúc xắc mà người chơi được tung ra, nhưng điều đó không liên quan đến câu hỏi này. Nó có thể là bất kỳ số xúc xắc nào từ 1 (một lần chết) đến khoảng 15. Tôi đang gọi P này .

Xúc xắc có 10 mặt được dán nhãn từ 1 đến 10 (Được gọi là 'd10' trong thuật ngữ tên miền của chúng tôi)

Khi gieo xúc xắc, có một số mục tiêu, hoặc số khó khăn. Làm thế nào con số này được tạo ra nằm ngoài phạm vi của câu hỏi này, nhưng con số có thể nằm trong khoảng từ 3 đến 9. Các quy tắc xung quanh điều này được giải thích dưới đây. Tôi kêu gọi này T .

Khi tất cả súc sắc được tung ra, có một số quy tắc để xác định kết quả:

• Bất kỳ chết nào bằng hoặc lớn hơn T đều được tính là thành công
• Bất kỳ chết bằng 1 trừ từ thành công

Như vậy mà...

• Nếu, sau khi trừ (nếu có), không có điểm chết nào lớn hơn hoặc bằng T, thì kết quả là thất bại.
• Nếu, sau khi trừ (nếu có), có ít nhất một điểm chết lớn hơn hoặc bằng T, thì kết quả là thành công.
• Nếu không có con lăn nào lớn hơn hoặc bằng T, và ít nhất một con chết là 1, thì đó là một con botch

Đối với một nhóm P và mục tiêu T nhất định, làm thế nào để bạn tính xác suất thành công, thất bại hoặc botch trong hệ thống này?

Tôi sẽ phải giải quyết vấn đề này trong các giai đoạn khi thời gian cho phép. Tôi hy vọng ai đó sẽ đưa ra một cách tiếp cận hoàn chỉnh (và có thể đơn giản hơn) trước khi tôi hoàn thành.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào botches.

Tôi sẽ bỏ qua một số ký hiệu của bạn và gọi số xúc xắc .$n$

Nếu không có con lăn nào lớn hơn hoặc bằng T, và ít nhất một con chết là 1, thì đó là một con botch

Trước tiên hãy xem xét$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

Bây giờ hãy xem xét$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

Vậy$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

(giả sử tôi không mắc lỗi nào)

Thứ hai, việc phân phối số lượng thành công chết cá nhân sau khi trừ có thể được xử lý bằng phương pháp tại bài viết này . Tuy nhiên, bạn dường như theo sau (nghĩa là cuộn tổng thể thành công) mà tôi nghĩ có thể phù hợp với các cách tiếp cận tương đối đơn giản hơn (mặc dù chúng có thể liên quan đến nhiều công việc hơn trong kết thúc). Tôi sẽ xem bản chỉnh sửa tiếp theo.$P(\text{at least one success in total})$