Định nghĩa toán học của các tham số vị trí / tỷ lệ / hình dạng là gì?

Tôi đang cố gắng hiểu định nghĩa chính xác của các tham số vị trí / tỷ lệ / hình dạng (ví dụ: được gọi là tham số hình dạng và là tham số tỷ lệ trong Pareto Loại I). Nhưng những cuốn sách tôi đã đề cập đến ( The Cambridge Dictionary of kê , HMC của Giới thiệu về toán học thống kê , Feller của An Introduction to Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó , vv) chỉ (dường như) cung cấp các định nghĩa mô tả cho các tham số (địa điểm tham số được gọi là tham số tập trung trong Feller của ). Wikipedia cung cấp các định nghĩa về mặt cdf và pdf nhưng không có bất kỳ nguồn nào được đưa ra. $a$ $c$

Dựa trên các khái niệm trong thống kê không tham số (giả sử là 00 của HMC) Tôi nghi ngờ các tham số vị trí / tỷ lệ / hình dạng có thể được định nghĩa như sau:

Hãy là một biến ngẫu nhiên với lũy . Một tham số , nơi là một chức năng, là một tham số vị trí nếu $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$ và nó là một tham số tỷ lệ nếu
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ và nó là một tham số hình dạng nếu nó không phải là vị trí cũng như tỷ lệ. $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$

Tôi có đúng không? Hay tôi đã nhầm lẫn một số khái niệm không liên quan?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Đức Phanxicô
nguồn

Trực giác của tôi là sự tồn tại của một chức năng như vậy là duy nhất cho đến việc tham số hóa các tham số. Tôi không chắc chắn nếu chức năng như vậy luôn tồn tại, và chúng không nhất thiết phải tuyến tính. Ngoài ra, tôi nghĩ rằng thuộc tính thứ hai cho tham số vị trí là không cần thiết.

— Gumeo

T

$T$

b

$b$

T + b

$T + b$

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$

F

$F$

T

$T$

@whuber Tôi đã bỏ lỡ điều đó ... Tôi đồng ý với bạn.

— Gumeo

T

$T$

μ

$\mu$

@Francis Trên tập hợp các phân phối đối xứng mà cả giá trị trung bình và trung bình được xác định, chúng đồng ý, vì vậy chúng có thể được coi là cùng chức năng. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng bạn có quyền thách thức hàm ý rằng các tham số vị trí phải là duy nhất - chúng không cần phải như vậy.

— whuber

Điều thường đúng là những điều này tương ứng với (một số chức năng của) khoảnh khắc đầu tiên, thứ hai và thứ ba như được ghi nhận bởi @ GuðmundurEinarsson. Tuy nhiên, có các trường hợp ngoại lệ: Ví dụ: đối với phân phối Cauchy, Evans, Hastings và Peacock (2000) gọi tham số đầu tiên là tham số vị trí, nhưng nó đại diện cho trung vị thay vì trung bình. Giá trị trung bình thậm chí không được xác định cho phân phối Cauchy.

Một mô tả đầy đủ hơn nhưng ít chính xác hơn sẽ là:

tham số vị trí dịch chuyển toàn bộ phân phối sang trái hoặc phải
Tham số tỷ lệ nén hoặc kéo dài toàn bộ phân phối
tham số hình dạng thay đổi hình dạng của phân phối theo một cách khác.

Phân phối thống kê của Merran Evans, Nicholas Hastings và Brian Peacock (2000) , ấn bản thứ ba. Wiley.

— Maart Buis
nguồn

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$ Tôi nghi ngờ đây là cách tham số vị trí được xác định cho phân phối Cauchy (đó là ý của bạn đối với Gauchy, phải không?).

— Phanxicô

Sai lầm của tôi: Gauchy thực sự đã được Cauchy. Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời để sửa nó.

— Maarten Buis

@Maarten bạn có thể muốn thay đổi câu trả lời của mình, tôi đã xóa câu trả lời của tôi để không gây thêm nhầm lẫn.

— Gumeo