Với n r.v 'phân phối đồng đều, PDF cho một rv chia cho tổng của tất cả n r.v's là gì?

10

Tôi quan tâm đến loại trường hợp sau: có các biến ngẫu nhiên liên tục 'n' phải tổng bằng 1. Cái gì sẽ là PDF cho bất kỳ một biến nào như vậy? Vì vậy, nếu , thì tôi quan tâm đến phân phối cho , trong đó và đều được phân phối đồng đều. Tất nhiên, giá trị trung bình, trong ví dụ này là , vì giá trị trung bình chỉ là , và mặc dù rất dễ mô phỏng phân phối trong R, tôi không biết phương trình thực tế của PDF hoặc CDF là gì. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Tình huống này có liên quan đến bản phân phối Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Chỉ có Irwin-Hall là phân phối tổng của n biến ngẫu nhiên đồng nhất, trong khi tôi muốn phân phối cho một trong n rv thống nhất chia cho tổng của tất cả n biến. Cảm ơn.

uniform

— người dùng3593717
nguồn

1

Nếu biến ngẫu nhiên thống nhất liên tục tổng bằng , thì với , và do đó, phân phối của giống như phân phối của , phải không?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

1

Tôi nên tự sửa: phân phối đồng phục N không tổng bằng 1. Tôi giả sử rằng chúng là mỗi đồng phục trong khoảng từ 0 đến 1, và do đó tổng của chúng có thể là bất cứ thứ gì từ 0 đến N. Tôi nghĩ đến việc lấy từng biến thống nhất và chia nó bằng tổng của tất cả N biến thống nhất để có được một bộ N biến ngẫu nhiên có tổng bằng 1 và có giá trị kỳ vọng 1 / N. Lưu ý: Tôi đã xóa từ 'đồng phục' khỏi câu đầu tiên của mình. Phân phối mà tôi đang tìm kiếm không đồng nhất, nhưng có nguồn gốc từ việc chia một trong N biến thống nhất cho tổng của tất cả N biến thống nhất, bằng cách nào đó. Tôi chỉ không chắc làm thế nào.

— dùng3593717

Trong đó được phân phối theo cấp số nhân, vectơ của các biến được chuẩn hóa có phân phối Dirichlet. Điều này có thể được quan tâm trong chính nó, nhưng nhìn vào cũng có thể cung cấp các chiến thuật cho loại tình huống này.

X_{i}

$X_i$

— phỏng đoán

4

Các điểm dừng trong miền làm cho nó hơi lộn xộn. Một cách tiếp cận đơn giản nhưng tẻ nhạt là xây dựng đến kết quả cuối cùng. Đối với hãy để và Sau đó $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Các điểm dừng ở 1 cho 1 và 2 cho 2 và 3 cho và và cho Tôi thấy pdf hoàn chỉnh là $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & nếu 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & nếu 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & nếu 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Cdf sau đó có thể được tìm thấy dưới dạng

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— ngâm
nguồn

+1 Đẹp. Ngoài ra, mật độ của bạn đồng ý đẹp với mô phỏng.

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Đặt . Chúng tôi có thể tìm thấy cdf của bằng cách tính Sau đó, chúng tôi phân biệt và thay thế pdf Irwin-Hall để có được pdf mong muốn: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ Từ đây sẽ có một chút lộn xộn, nhưng bạn sẽ có thể trao đổi tích phân và tổng và sau đó thực hiện thay thế (ví dụ: ) để đánh giá tích phân và từ đó có được công thức rõ ràng cho pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
nguồn

1

Giả định

"phân phối đồng phục N không tổng bằng 1."

Đây là cách tôi bắt đầu (chưa hoàn thành):

Hãy xem xét và cho bằng cách lạm dụng một chút ký hiệu. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Hãy xem xét, và : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Sau đó chuyển đổi các biến sau:

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Hàm xác suất chung của được cho bởi: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Trong đó và $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

Và,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Do đó,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

và $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— quyền lợi
nguồn

0

Giả sử chúng ta đã biết tổng của có phân phối Irwin-Hall. Bây giờ câu hỏi của bạn thay đổi để tìm pdf (hoặc CDF) của khi X có phân phối và có phân phối Irwin-Hall. $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

Đầu tiên chúng ta cần phải tìm ông pdf chung của và . $X$ $Y$

Đặt $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Sau đó

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Vì là iid với do đó, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

Phân phối chung với là $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Tiếp theo, hãy để chúng tôi tích hợp và chúng tôi có thể nhận được phân phối chung của và tức là phân phối chung của và $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Theo đề xuất của whuber bây giờ tôi đã thay đổi các giới hạn

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Bây giờ, chúng ta biết pdf chung của tức là chung pdf và là . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Tiếp theo, hãy tìm pdf của $\frac{X}{Y}$

Chúng ta cần một sự chuyển đổi khác:

Đặt $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Sau đó $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Sau đó

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

chúng tôi đã phân phối chung từ các bước trên ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Tiếp theo, chúng tôi tích hợp ra, chúng tôi nhận được pdf của sau đó chúng tôi nhận được pdf của $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Đây là pdf của tức là $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Chúng ta vẫn chưa kết thúc, trong (2) là gì? $y_3$

Chúng tôi biết rằng từ lần chuyển đổi đầu tiên. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Vì vậy, ít nhất chúng ta biết có phân phối Irwin-Hall . $Y_3$

Tôi tự hỏi chúng ta có thể cắm Irwin-Hall cho pdf vào (2) để có được một công thức rõ ràng không? hoặc chúng ta có thể thực hiện một số mô phỏng từ đây như Glen đề xuất không? $n=3$

— Bắc sâu
nguồn

2

Mô phỏng dường như không đồng ý với pdf đó.

— Glen_b -Reinstate Monica

Logic và các bước có vẻ đúng, nhưng tôi cảm thấy không thoải mái về giải pháp này.

— Sâu Bắc

2

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$