Làm cách nào để kiểm tra thống kê xem mạng của tôi (đồ thị) có phải là mạng thế giới nhỏ hay không?

Một mạng nhỏ cỡ thế giới là một loại đồ thị toán học trong đó hầu hết các nút không phải là hàng xóm của nhau, nhưng hầu hết các nút có thể đạt được từ mỗi khác bởi một số ít hoa bia hoặc các bước. Cụ thể, mạng thế giới nhỏ được định nghĩa là mạng có khoảng cách L điển hình giữa hai nút được chọn ngẫu nhiên (số bước cần thiết) tăng theo tỷ lệ logarit của số nút N trong mạng, đó là

$$L \approx \log(N)$$

Mối quan hệ giữa L và N này là "quy tắc ngón tay cái". Tôi đang tìm kiếm một quyết định chuyên nghiệp hơn về đồ thị thế giới nhỏ cho nghiên cứu của tôi. Làm cách nào để kiểm tra xem biểu đồ của tôi có phải là biểu đồ thế giới nhỏ hay không?

Các thí nghiệm nhỏ trên thế giới bao gồm một số thí nghiệm được tiến hành bởi Stanley Milgram và các nhà nghiên cứu khác kiểm tra độ dài đường trung bình cho các mạng xã hội của người dân tại Hoa Kỳ. Nghiên cứu này mang tính đột phá ở chỗ nó cho rằng xã hội loài người là một mạng lưới thế giới nhỏ được đặc trưng bởi các đường dẫn ngắn. Các thí nghiệm thường được liên kết với cụm từ "sáu độ phân tách", mặc dù Milgram không sử dụng thuật ngữ này.

Cảm ơn bạn trước.

TL; DR:

Bạn không thể.

Những gì thường được thực hiện

Trạng thái hiện tại của người nghệ thuật trong việc xác định xem mạng có phải là một thế giới nhỏ hay không sử dụng cách tiếp cận sau:

1. Tính độ dài đường trung bình ngắn nhất trung bình  và hệ số phân cụm  của mạng của bạn.$L$$C$

2. Tạo một tập hợp thích hợp của mạng null-mô hình, chẳng hạn như Erdős-Renyi đồ thị ngẫu nhiên , hoặc Maslov-Sneppen đồ thị ngẫu nhiên .

3. Tính trung bình của độ dài đường dẫn ngắn nhất trung bình trên tập hợp các mạng mô hình null; tính toán tương tự.$L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. Tính toán đường dẫn ngắn nhất được chuẩn hóa . và .$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Nếu và đáp ứng tiêu chí nhất định (ví dụ, và ), gọi mạng một mạng lưới nhỏ cỡ thế giới.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

Ý tưởng đằng sau điều này là:

• Các mạng thế giới nhỏ nên có một số cấu trúc không gian, được phản ánh bởi hệ số phân cụm cao. Ngược lại, các mạng ngẫu nhiên không có cấu trúc như vậy và hệ số phân cụm thấp.

• Các mạng thế giới nhỏ có hiệu quả trong giao tiếp và tương tự và do đó có độ dài đường dẫn ngắn nhất nhỏ, có thể so sánh với các mạng ngẫu nhiên. Ngược lại, các mạng không gian thuần túy có độ dài đường dẫn ngắn nhất cao.

Vấn đề ở đâu

• Điều này không nói lên điều gì về cách đường dẫn ngắn nhất có nghĩa quy mô với kích thước mạng. Trong thực tế, đối với các mạng thực, toàn bộ định nghĩa bạn trích dẫn không thể được áp dụng, vì không có thứ nào giống như cùng một mạng với số lượng nút khác nhau.

• Giả sử, chúng ta lấy một số định nghĩa khác về một thế giới nhỏ mà không trực tiếp dựa trên các giá trị của và , ví dụ như:$λ$$γ$

  Mạng thế giới nhỏ là mạng không gian có thêm các kết nối tầm xa.

  Sau đó, chúng tôi vẫn không thể làm ảnh hưởng mạnh mẽ về việc liệu một định nghĩa như vậy được thực hiện chỉ sử dụng và (hoặc trên thực tế các biện pháp mạng khác). Việc giải thích của nhiều nghiên cứu giả định rằng tất cả các mạng là sự hiện thực hóa mô hình WattsTHER Strogatz cho một số xác suất quay lại, điều này hoàn toàn không hợp lý: Chúng ta biết nhiều mô hình mạng khác, có nhận thức hoàn toàn khác với mô hình Watts Wrogatz.$λ$$γ$

• Phương pháp trên không mạnh mẽ để đo lỗi. Các lỗi nhỏ khi thiết lập mạng từ các phép đo đủ để thực hiện, ví dụ, mạng tinh thể trông giống như mạng thế giới nhỏ, xem, ví dụ, Bialonski và cộng sự, Chaos (2010) và Papo et al., Front. Hum. Thần kinh. (2016) . Trên thực tế, tôi không biết về một nghiên cứu duy nhất tuyên bố rằng một số mạng thực nghiệm không phải là một mạng thế giới nhỏ.

Sidenote: Bạn sẽ đạt được gì?

Tôi không nhận thức được bất kỳ cái nhìn sâu sắc hữu ích nào có thể bắt nguồn từ một số mạng là một thế giới nhỏ. Khiếu nại rằng một số loại mạng được mô tả tốt bởi một mô hình mạng nhất định (ví dụ: mô hình Watts siêu Strogatz) có thể hữu ích cho nghiên cứu mô hình hóa, nhưng điều đó sẽ đi xa hơn nhiều so với việc tuyên bố thế giới nhỏ.

^{Từ chối trách nhiệm đầy đủ: Một trong những giấy tờ trên là từ khu vực học thuật trực tiếp của tôi.}

A Small-Worldness Index có thể được tính trong "R" bằng cách sử dụng chức năng smallworldness trong gói qgraph .

Điều này dựa trên: Humphries, MD, & Gurney, K. (2008). Mạng " thế giới nhỏ": một phương pháp định lượng để xác định tương đương mạng chính tắc . PLoS Một, 3 (4), e0002051

Từ tờ giấy:

"Một mạng hiện được coi là 'thế giới nhỏ' nếu S> 1 - một khẳng định có thể được kiểm tra theo thống kê."