X, Y biến ngẫu nhiên đơn biến với

8

Hãy $X:\Omega\to\mathbb{R}$ và là biến ngẫu nhiên đơn biến với CDF sao cho: trong đó , là các hàm đã biết. $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ $F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Câu hỏi : Có đúng là và là RV độc lập không? $X$ $Y$

Bất cứ ai có thể cho tôi một số gợi ý?

Tôi đã cố gắng: nhưng tôi không biết tại sao (hoặc nếu) .

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
nguồn

2

Mối quan hệ có giữ cho tất cả và hay chỉ tại một cụ thể ?

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

— Dilip Sarwate

2

Ngoài ra, có phải là CDF không?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Tối đa

1

Bạn có đang cố gắng hỏi liệu biết cách tính hệ số phân phối của biến ngẫu nhiên bivariate thành một sản phẩm gồm các hàm của và đủ để kết luận và là độc lập không?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Xin lỗi vì sự nhầm lẫn, tôi sẽ chỉnh sửa câu hỏi ngay bây giờ. là CDF và thuộc tính giữ cho tất cả .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

1

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ không phải là sự thật. Hãy xem xét và và xem xét rằng nhưng cả và không thể có một giới hạn 1.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

Câu trả lời:

7

Vâng, đúng là những giả định này ngụ ý và là độc lập. $X$ $Y$

Đơn giản hóa các ký hiệu bằng cách viết . Theo định nghĩa, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Do đó, giới hạn của khi tăng mà không bị ràng buộc tồn tại và là cơ hội mà không vượt quá : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Chọn bất kỳ mà show là khác không. (Một như vậy phải tồn tại theo luật pháp của tổng xác suất, trong đó khẳng định ). Như vậy $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

cho tất cả . Trao đổi vai trò của và và sử dụng ký hiệu tương tự, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

cho tất cả các . Lấy giới hạn chung khi cả và tăng trưởng mà không hiển thị ràng buộc $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

vì thế

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

chứng tỏ và là độc lập. $X$ $Y$

— whuber
nguồn

1

Điều kỳ lạ là

và

cả hai có thể được được tiêu cực có giá trị chức năng với, nói,

và

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

và tất cả sẽ vẫn hoạt động tốt.

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate

2

@DilipSarwate: không có gì tò mò ở chỗ, nếu

thỏa mãn mối quan hệ, thì

, vì vậy bạn có thể cho rằng cả

và

đều có giá trị dương . Tương tự, nếu

thỏa mãn mối quan hệ, thì

, với mọi

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

.

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Tây An

@ Tây An tôi hiểu rất rõ. Tôi chỉ muốn nhấn mạnh (vì OP đã tự hỏi làm thế nào để chứng minh rằng

đã hạn chế giá trị

như

nghĩa là ông đã muốn

và

) đó thừa số

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

ngụ ý rằng

và

là độc lập mà không có nó là nhất thiết phải đúng là

cho tất cả

;

cho tất cả

hoạt động giống như tốt.

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate

@Dilip

thậm chí có thể có các giá trị phức tạp nếu bạn muốn :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

1

@KiranK. Câu hỏi được đặt ra là "Nếu một CDF chung

có thể được biểu thị là

, thì là

và

độc lập? " mà câu trả lời là Có, và nó đòi hỏi một chút công việc để thể hiện điều này. Người ta không cho rằng

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$ và

là các CDF hợp lệ; nếu bạn khăng khăng bao gồm yêu cầu này, câu trả lời là tầm thường Có bởi vì một trong những định nghĩa của RV độc lập là các yếu tố CDF chung vào sản phẩm của CDF cận biên.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookie và Chính sách bảo mật của chúng tôi.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.